अभ्यास

भूमिका (Background)

इस अध्याय में हम ठोस आकृतियों (Solids) के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन से जुड़े सवाल हल करेंगे। सबसे पहले सीखेंगे बेलन (Cylinder) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना। फिर सीखेंगे एक आकृति को गलाकर दूसरी आकृति में ढालने पर (जैसे गोला गलाकर बेलन बनाना) आयतन कैसे बराबर रहता है, भले ही आकार बदल जाए। अंत में सीखेंगे दो ठोसों को जोड़कर बनी आकृति (जैसे शंकु और अर्धगोले से बना खिलौना) का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना।

📝 अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

बेलन (Cylinder) का आयतन = πr²h, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh
गलाकर ढालने (Melting and recasting) पर आयतन हमेशा बराबर रहता है, चाहे आकार कुछ भी बन जाए।
दो ठोसों को जोड़कर बनी आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = दोनों के बाहर दिखने वाले हिस्सों के क्षेत्रफलों का योग — जहाँ दोनों जुड़ते हैं, वह हिस्सा नहीं गिनते।
शंकु (Cone) की तिर्यक ऊँचाई (Slant height) l = √(r² + h²) — यह पाइथागोरस प्रमेय से आती है।
छिन्नक में सीधी ऊँचाई और तिरछी ऊँचाई अलग होती हैं।
जुड़े अलग भागों के आयतन जोड़ें; निकले हुए पदार्थ का आयतन घटाएँ।
पाइप से बहा पानी एक बेलनाकार स्तंभ की तरह गिन सकते हैं।
एक ही ठोस के दो माप दिए हों तो दोनों सूत्र साथ लिखें; भाग देने से साझा अज्ञात कट सकता है।

अध्ययन और अभ्यास (Study and Exercise)

ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन — बेलन (Surface Area and Volume of a Cylinder)

एक आकृति का दूसरी आकृति में रूपांतरण (Conversion of Solids)

संयोजन ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Combination of Solids)

घन और घनाभ (Cube and Cuboid)

शंकु, गोला और अर्धगोला अकेले (Cone, Sphere and Hemisphere Alone)

अनुपात और छिन्नक (Ratios and the Frustum)