अभ्यास — प्रश्नावली 13.3 (Exercise 13.3)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. x सेमी त्रिज्या (Radius) के गोले (Sphere) को पिघलाकर x सेमी त्रिज्या वाले शंकु (Cone) के रूप में ढाला जाता है तो शंकु की ऊँचाई (Height) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 4x सेमी

   (B) 3x सेमी

   (C) 2x सेमी

   (D) x सेमी
   उत्तर देखें (See answer)
2. 8 सेमी भुजा वाले घन (Cube) में से 4 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाए जा सकते हैं?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 4

   (B) 8

   (C) 12

   (D) 16
   उत्तर देखें (See answer)
3. धातु के तीन घन (Cube) जिनके किनारे क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी हैं, को पिघलाकर एक घन बनाया गया। नये बने घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) क्या होगा?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 72 सेमी²

   (B) 144 सेमी²

   (C) 128 सेमी²

   (D) 256 सेमी²
   उत्तर देखें (See answer)
4. एक 8 cm त्रिज्या (Radius) के ठोस गोले (Sphere) से 1 cm त्रिज्या के कितने ठोस गोले बनाए जा सकते हैं ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) 256

   (B) 512

   (C) 1024

   (D) 576
   उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है।

   ज्ञात करना है (Find)

   बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   बेलन का आयतन V=πr²h और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल CSA=2πrh। पूरे पृष्ठ के लिए दोनों गोल आधार भी जोड़ें।

   चरण (Step) 1 — आयतन बराबर रखें

   (4/3)π(4.2)³ = π(6)²h।

   चरण (Step) 2 — h निकालें

   h = (4/3)(4.2)³/36 = 343/125 = 2.744 cm।

   उत्तर (Answer)

   2.744 cm

2. व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
3. व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   बड़े बेलन में उपलब्ध आयतन की तुलना एक शंकु और उसके ऊपर के अर्धगोले के संयुक्त आयतन से करें।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   शंकु का आयतन=(1/3)πr²h, तिर्यक ऊँचाई l=√(r²+h²) और वक्र पृष्ठ=πrl।

   चरण (Step) 1 — बर्तन में कुल आइसक्रीम

   बेलन की त्रिज्या 12/2=6 cm और ऊँचाई 15 cm है। आयतन (Volume)=πr²h=π×6²×15=540π cm³।

   चरण (Step) 2 — एक आइसक्रीम का आयतन

   इसमें एक शंकु और ऊपर एक अर्धगोला है। दोनों की त्रिज्या 6/2=3 cm है। शंकु का आयतन=(1/3)π×3²×12=36π। अर्धगोले का आयतन=(2/3)π×3³=18π। कुल=54π cm³।

   चरण (Step) 3 — कितनी आइसक्रीम बनेंगी?

   संख्या = कुल उपलब्ध आयतन/एक आइसक्रीम का आयतन = 540π/(54π)=10। π कट जाता है, इसलिए दशमलव में बदलने की जरूरत नहीं।

   उत्तर (Answer)

   10 शंकु

4. 32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है।

   ज्ञात करना है (Find)

   इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   बड़े बेलन में उपलब्ध आयतन की तुलना एक शंकु और उसके ऊपर के अर्धगोले के संयुक्त आयतन से करें।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   शंकु का आयतन=(1/3)πr²h, तिर्यक ऊँचाई l=√(r²+h²) और वक्र पृष्ठ=πrl।

   चरण (Step) 1 — आयतन बराबर रखें

   π(18)²(32) = (1/3)πr²(24)।

   चरण (Step) 2 — त्रिज्या निकालें

   r² = 18²×32×3/24 = 1296, r = 36 cm।

   चरण (Step) 3 — तिर्यक ऊँचाई

   l = √(36²+24²) = 12√13 ≈ 43.27 cm।

   उत्तर (Answer)

   त्रिज्या = 36 cm, तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm ≈ 43.27 cm

5. एक धात्विक घनाभ (Cuboid) जिसकी लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई (Height) क्रमशः 100 सेमी, 80 सेमी तथा 64 सेमी हैं, को पिघलाकर एक घन (Cube) बनाया जाता है तो घन के कोर (Edge) की लम्बाई ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)