अभ्यास — प्रश्नावली 14.4 (Exercise 14.4)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है — दैनिक आय (रुपयों में): 100-120:12, 120-140:14, 140-160:8, 160-180:6, 180-200:10। उपरोक्त बंटन को 'से कम प्रकार' के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए। साथ ही, माध्यक ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है — दैनिक आय (रुपयों में): 100-120:12, 120-140:14, 140-160:8, 160-180:6, 180-200:10। उपरोक्त बंटन को 'से कम प्रकार' के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।

   आलेख बनाएँ (Draw the graph)

   निचली पहली सीमा पर संचयी बारंबारता 0 लें। हर ऊपरी सीमा को उसकी संचयी गिनती के साथ बिंदु बनाएँ और क्रम से जोड़ें।

   ज्ञात करना है (Find)

   साथ ही, माध्यक ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   x-अक्ष पर वर्ग-सीमा, y-अक्ष पर संचयी बारंबारता। N/2 से वक्र तक क्षैतिज और फिर नीचे रेखा खींचकर माध्यक पढ़ें।

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   माध्यक (Median) बीच की स्थिति बताता है। पहले बारंबारताएँ जोड़कर संचयी बारंबारता बनाएँ; कुल n के लिए n/2 वाली स्थिति का वर्ग चुनें। सूत्र: माध्यक=l+[(n/2−cf)/f]×h। यहाँ l उस वर्ग की निचली सीमा, cf उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उस वर्ग की बारंबारता और h वर्ग की चौड़ाई है।

   चरण (Step) 2 — 'से कम' सारणी बनाएँ

   120 से कम=12, 140 से कम=26, 160 से कम=34, 180 से कम=40, 200 से कम=50।

   चरण (Step) 3 — तोरण का विवरण

   इन युग्मों (ऊपरी सीमा, संचयी बारंबारता) को आलेखित कर मुक्त-हस्त वक्र से जोड़ने पर 'से कम' तोरण मिलता है।

   चरण (Step) 4 — माध्यक निकालें

   n/2=25, माध्यक वर्ग 120-140 है (cf=12,f=14)। माध्यक = 120+((25−12)/14)×20 = 970/7 ≈ 138.57।

   उत्तर (Answer)

   माध्यक ≈ 138.57

2. किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए — भार (कि.ग्रा. में): 38 से कम=0, 40 से कम=3, 42 से कम=5, 44 से कम=9, 46 से कम=14, 48 से कम=28, 50 से कम=32, 52 से कम=35। उपरोक्त आँकड़ों के 'से कम प्रकार का तोरण' खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए — भार (कि.ग्रा. में): 38 से कम=0, 40 से कम=3, 42 से कम=5, 44 से कम=9, 46 से कम=14, 48 से कम=28, 50 से कम=32, 52 से कम=35। उपरोक्त आँकड़ों के 'से कम प्रकार का तोरण' खींचिए।

   आलेख बनाएँ (Draw the graph)

   निचली पहली सीमा पर संचयी बारंबारता 0 लें। हर ऊपरी सीमा को उसकी संचयी गिनती के साथ बिंदु बनाएँ और क्रम से जोड़ें।

   ज्ञात करना है (Find)

   इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   x-अक्ष पर वर्ग-सीमा, y-अक्ष पर संचयी बारंबारता। N/2 से वक्र तक क्षैतिज और फिर नीचे रेखा खींचकर माध्यक पढ़ें।

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   माध्यक (Median) बीच की स्थिति बताता है। पहले बारंबारताएँ जोड़कर संचयी बारंबारता बनाएँ; कुल n के लिए n/2 वाली स्थिति का वर्ग चुनें। सूत्र: माध्यक=l+[(n/2−cf)/f]×h। यहाँ l उस वर्ग की निचली सीमा, cf उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उस वर्ग की बारंबारता और h वर्ग की चौड़ाई है।

   चरण (Step) 2 — वर्ग अंतराल और बारंबारता बनाएँ

   36-38:0, 38-40:3, 40-42:2, 42-44:4, 44-46:5, 46-48:14, 48-50:4, 50-52:3।

   चरण (Step) 3 — माध्यक वर्ग पहचानें

   n=35, n/2=17.5। संचयी बारंबारता 14(44-46 तक) से 28(46-48 तक), माध्यक वर्ग 46-48 है (cf=14,f=14)।

   चरण (Step) 4 — माध्यक निकालें

   माध्यक = 46+((17.5−14)/14)×2 = 46.5 kg।

   उत्तर (Answer)

   46.5 kg