अभ्यास — प्रश्नावली 14.3 (Exercise 14.3)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. निम्नांकित में केन्द्रीय प्रवृत्ति (Central tendency) के किस मापन की गणना के लिए संचयी बारम्बारता (Cumulative frequency) सारणी की आवश्यकता है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) मध्यमान (Mean)

   (B) माध्यिका (Median)

   (C) बहुलक (Mode)

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
2. प्रथम 10 अभाज्य संख्याओं (Prime numbers) की माध्यिका (Median) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 11

   (B) 12

   (C) 13

   (D) 17
   उत्तर देखें (See answer)
3. 15, 6, 16, 8, 22, 21, 9, 18, 25 की माध्यिका (Median) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 15

   (B) 18

   (C) 16

   (D) 22
   उत्तर देखें (See answer)
4. 15, 6, 16, 8, 22, 21, 9, 18, 25 की माध्यिका (Median) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 16

   (B) 15

   (C) 21

   (D) 8
   उत्तर देखें (See answer)
5. यदि 24, 27, 28, 31, 34, x, 37, 40, 42, 45, 50 की माध्यिका (Median) 35 हो, तो x का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) 35

   (B) 36

   (C) 34.5

   (D) 35.5
   उत्तर देखें (See answer)
6. संचयी बारंबारता (Cumulative frequency) सारणी निम्न में से किसके निर्धारण में उपयोगी होता है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) माध्य (Mean)

   (B) माध्यिका (Median)

   (C) बहुलक (Mode)

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए — वर्ग अंतराल: 0-10,10-20,20-30,30-40,40-50,50-60; बारंबारता: 5,x,20,15,y,5; योग 60।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
2. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो। (से कम सारणी: 20 से कम=2, 25 से कम=6, 30 से कम=24, 35 से कम=45, 40 से कम=78, 45 से कम=89, 50 से कम=92, 55 से कम=98, 60 से कम=100)
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   माध्यक (Median) बीच की स्थिति बताता है। पहले बारंबारताएँ जोड़कर संचयी बारंबारता बनाएँ; कुल n के लिए n/2 वाली स्थिति का वर्ग चुनें। सूत्र: माध्यक=l+[(n/2−cf)/f]×h। यहाँ l उस वर्ग की निचली सीमा, cf उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उस वर्ग की बारंबारता और h वर्ग की चौड़ाई है।

   चरण (Step) 2 — वर्ग अंतराल बनाएँ

   18 वर्ष की निचली सीमा से शुरू करें: 18-20,20-25,25-30,30-35,35-40,40-45,45-50,50-55,55-60, बारंबारता क्रमशः 2,4,18,21,33,11,3,6,2।

   चरण (Step) 3 — माध्यक वर्ग पहचानें

   n=100, n/2=50। संचयी बारंबारता 45(30-35 तक) से 78(35-40 तक), इसलिए माध्यक वर्ग 35-40 है (cf=45,f=33)।

   चरण (Step) 4 — माध्यक निकालें

   माध्यक = 35+((50−45)/33)×5 ≈ 35.76 वर्ष।

   उत्तर (Answer)

   ≈ 35.76 वर्ष

3. एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी गईं — 118-126:3, 127-135:5, 136-144:9, 145-153:12, 154-162:5, 163-171:4, 172-180:2। पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए। (संकेत: वर्ग अंतरालों को सतत में बदलें — 117.5-126.5, आदि)
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   माध्यक (Median) बीच की स्थिति बताता है। पहले बारंबारताएँ जोड़कर संचयी बारंबारता बनाएँ; कुल n के लिए n/2 वाली स्थिति का वर्ग चुनें। सूत्र: माध्यक=l+[(n/2−cf)/f]×h। यहाँ l उस वर्ग की निचली सीमा, cf उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उस वर्ग की बारंबारता और h वर्ग की चौड़ाई है।

   चरण (Step) 2 — सतत वर्ग अंतराल बनाएँ

   117.5-126.5, 126.5-135.5, 135.5-144.5, 144.5-153.5, 153.5-162.5, 162.5-171.5, 171.5-180.5।

   चरण (Step) 3 — माध्यक वर्ग पहचानें

   n=40, n/2=20। संचयी बारंबारता 3,8,17,29,... से 20, वर्ग 144.5-153.5 में पड़ता है (cf=17,f=12)।

   चरण (Step) 4 — माध्यक निकालें

   माध्यक = 144.5+((20−17)/12)×9 = 146.75 mm।

   उत्तर (Answer)

   146.75 mm

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए — मासिक खपत (इकाइयों में): 65-85,85-105,105-125,125-145,145-165,165-185,185-205; उपभोक्ताओं की संख्या: 4,5,13,20,14,8,4।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
2. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का बंटन प्राप्त हुआ — अक्षरों की संख्या: 1-4,4-7,7-10,10-13,13-16,16-29; कुलनामों की संख्या: 6,30,40,16,4,4। कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या, माध्य अक्षरों की संख्या और बहुलक ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — माध्यक (Median) का वर्ग पहचानें

   कुल बारंबारता n=100 है। संचयी बारंबारता (Cumulative frequency) क्रमशः 6, 36, 76, 92, 96, 100 है। n/2=50 जिस वर्ग में आता है, वह 7–10 है। इसकी निचली सीमा l=7, पिछली संचयी बारंबारता cf=36, बारंबारता f=40 और चौड़ाई h=3 है।

   चरण (Step) 2 — माध्यक निकालें

   माध्यक = l+[(n/2−cf)/f]×h = 7+[(50−36)/40]×3 = 7+1.05 = 8.05 अक्षर।

   चरण (Step) 3 — माध्य (Mean) के लिए मध्य-बिंदु लें

   प्रत्येक वर्ग का मध्य-बिंदु x=(निचली सीमा+ऊपरी सीमा)/2 है। यहाँ x के मान 2.5, 5.5, 8.5, 11.5, 14.5, 22.5 हैं। अंतिम वर्ग प्रश्न के अनुसार 16–29 है, इसलिए उसका मध्य-बिंदु 22.5 है।

   चरण (Step) 4 — बारंबारता से गुणा करके औसत निकालें

   fx के मान: 6×2.5=15; 30×5.5=165; 40×8.5=340; 16×11.5=184; 4×14.5=58; 4×22.5=90। इनका योग 852 है। माध्य = कुल fx/कुल f = 852/100 = 8.52 अक्षर।

   चरण (Step) 5 — बहुलक (Mode) निकालें

   सबसे अधिक बारंबारता 40 है, इसलिए बहुलक वर्ग 7–10 है। पिछली, इस वर्ग की और अगली बारंबारताएँ क्रमशः f₀=30, f₁=40, f₂=16 हैं; l=7 और h=3। बहुलक = l+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h = 7+[(40−30)/(80−30−16)]×3 = 7+30/34 ≈ 7.88 अक्षर।

   उत्तर (Answer)

   माध्यक = 8.05, माध्य = 8.52, बहुलक ≈ 7.88 अक्षर

3. निम्नलिखित आँकड़े की माध्यिका (Median) निकालें : प्राप्तांक 10 से कम=5, 20 से कम=8, 30 से कम=12, 40 से कम=15, 50 से कम=18, 60 से कम=22, 70 से कम=29, 80 से कम=38, 90 से कम=45, 100 से कम=53बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
4. निम्नलिखित बंटन की माध्यिका (Median) ज्ञात करें : वर्ग अंतराल (Class interval) 118-126, 127-135, 136-144, 145-153, 154-162, 163-171, 172-180 के संगत (Corresponding) बारंबारता (Frequency) क्रमशः 3, 5, 9, 12, 5, 4, 2 हैं।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)