अभ्यास — प्रश्नावली 3.3 (Exercise 3.3)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए — x + y = 14, x − y = 4
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के रूप में लिखें और उसे दूसरे समीकरण में रखें।

   चरण (Step) 1 — एक चर अलग करें

   पहले से x = 14 − y।

   चरण (Step) 2 — दूसरे में रखें

   (14−y) − y = 4 से 14 − 2y = 4, y = 5। फिर x = 9।

   उत्तर (Answer)

   x = 9, y = 5

2. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए — 0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के रूप में लिखें और उसे दूसरे समीकरण में रखें।

   चरण (Step) 1 — एक चर अलग करें

   पहले से 0.2x = 1.3 − 0.3y, यानी x = 6.5 − 1.5y।

   चरण (Step) 2 — दूसरे में रखें

   0.4(6.5−1.5y) + 0.5y = 2.3 से 2.6 − 0.6y + 0.5y = 2.3, −0.1y = −0.3, y = 3। फिर x = 2।

   उत्तर (Answer)

   x = 2, y = 3

3. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए — √2x + √3y = 0, √3x − √8y = 0बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
4. 2x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 को हल कीजिए और इससे 'm' का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — युग्म हल करें

   घटाने पर 7y=35, y=5। फिर 2x+15=11, x=−2।

   चरण (Step) 2 — m निकालें

   5 = m(−2) + 3 से −2m = 2, m = −1।

   उत्तर (Answer)

   x = −2, y = 5, m = −1

5. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है।

   ज्ञात करना है (Find)

   उन्हें ज्ञात कीजिए।

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

   बड़ा कोण x, छोटा y। संपूरक: x+y=180। बड़ा 18° अधिक: x=y+18।

   चरण (Step) 2 — हल

   (y+18)+y=180 से 2y=162, y=81। फिर x=99।

   उत्तर (Answer)

   99° और 81°

6. एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

   दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।

   चरण (Step) 1 — अज्ञात और समीकरण

   एक बल्ले का मूल्य x रुपये और गेंद का y रुपये लें। 7x+6y=3800 तथा 3x+5y=1750।

   चरण (Step) 2 — प्रतिस्थापन करें

   पहले समीकरण से x=(3800−6y)/7। दूसरे में रखने पर 3(3800−6y)/7 + 5y = 1750।

   चरण (Step) 3 — भिन्न हटाएँ

   7 से गुणा दें: 11400−18y+35y=12250। इसलिए 17y=850 और y=50।

   चरण (Step) 4 — बल्ले का मूल्य

   x=(3800−6×50)/7=3500/7=500।

   चरण (Step) 5 — जाँच

   7×500+6×50=3800 और 3×500+5×50=1750।

   उत्तर (Answer)

   बल्ला ₹500; गेंद ₹50।

7. एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा ज्ञात कीजिए। 25 km यात्रा के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

   नियत भाड़ा f, प्रति km दर r। f+10r=105, f+15r=155।

   चरण (Step) 2 — हल

   घटाने पर 5r=50, r=10। फिर f=5।

   चरण (Step) 3 — 25 km का भाड़ा

   f+25r = 5+250 = 255।

   उत्तर (Answer)

   नियत भाड़ा = ₹5, प्रति km = ₹10, 25 km का भाड़ा = ₹255

8. यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

   दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।

   चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

   अंश n और हर d लें। (n+2)/(d+2)=9/11 से 11n−9d=−4। (n+3)/(d+3)=5/6 से 6n−5d=−3।

   चरण (Step) 2 — n हटाएँ

   पहले को 6 से: 66n−54d=−24। दूसरे को 11 से: 66n−55d=−33। पहला − दूसरा करने पर d=9।

   चरण (Step) 3 — अंश निकालें

   6n−5×9=−3 से 6n=42 और n=7।

   चरण (Step) 4 — जाँच

   (7+2)/(9+2)=9/11 और (7+3)/(9+3)=10/12=5/6।

   उत्तर (Answer)

   भिन्न 7/9 है।

9. पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
   उत्तर देखें (See answer)

   सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

   दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।

   चरण (Step) 1 — आज की आयु मानें

   जैकब की वर्तमान आयु j और पुत्र की s वर्ष लें। पाँच वर्ष बाद दोनों की आयु में 5 जुड़ेगा: j+5=3(s+5)। पाँच वर्ष पहले दोनों से 5 घटेगा: j−5=7(s−5)।

   चरण (Step) 2 — कोष्ठक खोलें

   j+5=3s+15 ⇒ j−3s=10। इसी तरह j−5=7s−35 ⇒ j−7s=−30।

   चरण (Step) 3 — दोनों आयु निकालें

   पहले समीकरण में से दूसरा घटाएँ: (j−3s)−(j−7s)=10−(−30) ⇒ 4s=40 ⇒ s=10। j−3×10=10 से j=40।

   जाँच (Check)

   पाँच वर्ष बाद 45=3×15। पाँच वर्ष पहले 35=7×5। दोनों शर्तें पूरी हैं।

   उत्तर (Answer)

   जैकब = 40 वर्ष, पुत्र = 10 वर्ष

10. समीकरण युग्म 2x + y = 7 तथा 4x − 3y + 1 = 0 को प्रतिस्थापन (Substitution) या विलोपन (Elimination) विधि से हल करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)