अभ्यास — प्रश्नावली 4.4 (Exercise 4.4)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. निम्न द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए — 2x² − 3x + 5 = 0
   (A) दो भिन्न वास्तविक मूल

   (B) दो बराबर वास्तविक मूल

   (C) कोई वास्तविक मूल नहीं
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   विविक्तकर (Discriminant) D = b² − 4ac। D > 0 पर दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 पर दो बराबर वास्तविक मूल और D < 0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।

   चरण (Step) 1 — विविक्तकर निकालें

   a=2,b=−3,c=5। D=9−40=−31<0।

   उत्तर (Answer)

   D<0 — कोई वास्तविक मूल नहीं।

2. निम्न द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए (यदि वास्तविक हैं तो मूल भी ज्ञात कीजिए) — 3x² − 4√3x + 4 = 0
   (A) दो भिन्न वास्तविक मूल

   (B) दो बराबर वास्तविक मूल

   (C) कोई वास्तविक मूल नहीं
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   विविक्तकर (Discriminant) D = b² − 4ac। D > 0 पर दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 पर दो बराबर वास्तविक मूल और D < 0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।

   चरण (Step) 1 — विविक्तकर निकालें

   a=3,b=−4√3,c=4। D=48−48=0।

   चरण (Step) 2 — मूल और उत्तर

   D=0 — दो बराबर मूल, x=−b/2a=4√3/6=2/√3।

   उत्तर (Answer)

   दो बराबर वास्तविक मूल, दोनों 2/√3

3. निम्न द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए (यदि वास्तविक हैं तो मूल भी ज्ञात कीजिए) — 2x² − 6x + 3 = 0
   (A) दो भिन्न वास्तविक मूल

   (B) दो बराबर वास्तविक मूल

   (C) कोई वास्तविक मूल नहीं
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   विविक्तकर (Discriminant) D = b² − 4ac। D > 0 पर दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 पर दो बराबर वास्तविक मूल और D < 0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।

   चरण (Step) 1 — विविक्तकर निकालें

   a=2,b=−6,c=3। D=36−24=12>0।

   चरण (Step) 2 — मूल और उत्तर

   D>0 — दो भिन्न मूल, x=(6±√12)/4=(3±√3)/2।

   उत्तर (Answer)

   दो भिन्न वास्तविक मूल, (3±√3)/2

4. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 5x² − 6x − 2 = 0 का विवेचक (Discriminant) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 66

   (B) 76

   (C) 73

   (D) 72
   उत्तर देखें (See answer)
5. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) x² - 3x - 10 = 0 के मूलों (Roots) की प्रकृति हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) वास्तविक और असमान

   (B) वास्तविक और समान

   (C) अवास्तविक

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
6. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) bx² + ax + c = 0 जहाँ b ≠ 0 के विवेचक (Discriminant) का मान होता हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) a² - 4bc

   (B) b² - 4ac

   (C) c² - 4ab

   (D) b² + 4ac
   उत्तर देखें (See answer)
7. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) x² − 3x + 2 = 0 का विविक्तकर हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 17

   (B) 27

   (C) 1

   (D) 5
   उत्तर देखें (See answer)
8. समीकरण cx² + ax + b = 0 के मूल वास्तविक नहीं (Not real) होंगे, यदिबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) c² − 4ab < 0

   (B) b² − 4ac < 0

   (C) a² − 4bc < 0

   (D) a² − 4bc > 0
   उत्तर देखें (See answer)
9. k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण (Quadratic equation) kx² − 6x + 1 = 0 के मूल वास्तविक एवं समान (Real and equal) हैं ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 6

   (B) 8

   (C) 9

   (D) 10
   उत्तर देखें (See answer)
10. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 2x² − 7x + 6 = 0 का विवेचक (Discriminant) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 1

    (B) −1

    (C) 27

    (D) 37
    उत्तर देखें (See answer)
11. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 2x² − 6x + 3 = 0 के मूलों (Roots) की प्रकृति क्या है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) वास्तविक एवं असमान (Real and unequal)

    (B) वास्तविक एवं समान (Real and equal)

    (C) वास्तविक नहीं (Not real)

    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
12. p के किस मान के लिए द्विघात समीकरण (Quadratic equation) px²-2x+3=0 के मूल वास्तविक एवं समान (Real and equal) होंगे?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 1

    (B) 1/3

    (C) 3

    (D) 1/2
    उत्तर देखें (See answer)
13. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 6x²-3x+5=0 के मूलों (Roots) की प्रकृति क्या होगी?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) वास्तविक एवं असमान (Real and unequal)

    (B) वास्तविक एवं समान (Real and equal)

    (C) वास्तविक नहीं (Not real)

    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
14. k के किन मानों के लिए द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 9x² + 3kx + 4 = 0 के मूल वास्तविक और समान हैं ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) ± 4

    (B) ± 7

    (C) ± 9

    (D) ± 6
    उत्तर देखें (See answer)
15. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) x² + 4x + b = 0 का विवेचक (Discriminant) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 16 - 4b

    (B) 4b - 16

    (C) b² - 16

    (D) 16 - b²
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. निम्न द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों — 2x² + kx + 3 = 0
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   बराबर वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac = 0 होता है। इसी समीकरण से k निकालते हैं और a ≠ 0 की शर्त भी जाँचते हैं।

   चरण (Step) 1 — विविक्तकर शून्य रखें

   a=2,b=k,c=3। D=k²−24=0।

   चरण (Step) 2 — k निकालें

   k²=24 से k=±2√6।

   उत्तर (Answer)

   k = ±2√6

2. निम्न द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों — kx(x−2) + 6 = 0
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   बराबर वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac = 0 होता है। इसी समीकरण से k निकालते हैं और a ≠ 0 की शर्त भी जाँचते हैं।

   चरण (Step) 1 — मानक रूप में लिखें

   kx²−2kx+6=0। a=k,b=−2k,c=6। D=4k²−24k।

   चरण (Step) 2 — विविक्तकर शून्य रखें

   4k²−24k=0 से 4k(k−6)=0, अर्थात् k=0 या k=6।

   उत्तर (Answer)

   k=0 पर समीकरण kx²−2kx+6=0 बनकर केवल 6=0 रह जाती है — द्विघात नहीं। इसलिए k=6 ही सही उत्तर है।

3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? है।

   ज्ञात करना है (Find)

   उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

   संभावना जाँचने का नियम (Rule)

   पहले स्थिति से द्विघात समीकरण बनाएँ। वास्तविक मान संभव होने के लिए D = b² − 4ac ≥ 0 होना चाहिए; मिले मूलों में लंबाई या आयु जैसी राशि की व्यावहारिक शर्त भी जाँचें।

   चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

   चौड़ाई w, लंबाई 2w। क्षेत्रफल 2w²=800 से w²−400=0।

   चरण (Step) 2 — विविक्तकर और उत्तर

   D=0−4(1)(−400)=1600>0 — वास्तविक मूल हैं, इसलिए संभव है। w²=400 से w=20 (w=−20 अस्वीकृत)। लंबाई=40 m।

   उत्तर (Answer)

   हाँ, संभव है — चौड़ाई = 20 m, लंबाई = 40 m

4. क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए — दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
   उत्तर देखें (See answer)

   संभावना जाँचने का नियम (Rule)

   पहले स्थिति से द्विघात समीकरण बनाएँ। वास्तविक मान संभव होने के लिए D = b² − 4ac ≥ 0 होना चाहिए; मिले मूलों में लंबाई या आयु जैसी राशि की व्यावहारिक शर्त भी जाँचें।

   चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

   एक मित्र की आयु x, दूसरे की 20−x। चार वर्ष पूर्व: (x−4)(16−x)=48।

   चरण (Step) 2 — सरल करें और जाँच

   खोलने पर −x²+20x−64=48, यानी x²−20x+112=0। D=400−448=−48<0।

   उत्तर (Answer)

   D<0 — कोई वास्तविक मूल नहीं, इसलिए यह स्थिति संभव नहीं है।

5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? है।

   ज्ञात करना है (Find)

   उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

   संभावना जाँचने का नियम (Rule)

   पहले स्थिति से द्विघात समीकरण बनाएँ। वास्तविक मान संभव होने के लिए D = b² − 4ac ≥ 0 होना चाहिए; मिले मूलों में लंबाई या आयु जैसी राशि की व्यावहारिक शर्त भी जाँचें।

   चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

   लंबाई l, चौड़ाई 40−l (क्योंकि परिमाप 80 से l+w=40)। क्षेत्रफल l(40−l)=400।

   चरण (Step) 2 — सरल करें

   −l²+40l−400=0 से l²−40l+400=0। D=1600−1600=0।

   उत्तर (Answer)

   D=0 — वास्तविक (बराबर) मूल है, इसलिए संभव है। l=40/2=20। पार्क 20 m × 20 m का वर्ग है।

6. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 3y² − 2√6y + 2 = 0 के विवेचक (Discriminant) ज्ञात करें और मूलों (Roots) की प्रकृति भी ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
7. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 2x² + 5x − 3 = 0 के विवेचक (Discriminant) ज्ञात करें और मूलों (Roots) की प्रकृति भी ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
8. द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 9x²-6x+1=0 के विवेचक (Discriminant) ज्ञात करें एवं फिर मूलों (Roots) की प्रकृति बताएँ।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
9. k के किन मानों के लिए द्विघात समीकरण (k+1)x²-2(k-1)x+1=0 के मूल बराबर होंगे?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)