← अध्ययन

विभाजन नियम से बिंदु ज्ञात करना (Finding a Point by the Section Formula)

🔊 पूरा पाठ शिक्षक की तरह सुनें (AI Voice)
पाठ देखते हुए सुनें। लाल पट्टी पर टैप करें या खींचकर आगे-पीछे जाएँ।
0:00--:--
आज क्या सीखेंगे

विभाजन नियम से बिंदु ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक सीधी सड़क AB पर दो बस स्टॉप हैं। एक नया स्टॉप P ठीक ऐसी जगह बनाना है कि AP : PB = 1 : 2 हो।
P के निर्देशांक क्या होंगे?
🧠 समझिए (Understand)
P, रेखाखंड AB को m:n में बाँटता है: AP : PB = m : n।
P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n))।
x और y के लिए अलग-अलग निकालिए; दोनों में m और n का क्रम वही रहे।
AP:PB = m:n में P, A से m हिस्से आगे है। इसलिए B के निर्देशांक का गुणक m आता है।
ABPmn
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n))
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और अनुपात m : n पहचानिए।
  2. x के लिए (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) निकालिए।
  3. y के लिए (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) निकालिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — A(2, −1), B(8, 5), 1 : 2
A(2, −1) और B(8, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु?

तरीका (Method)

AP:PB = m:n में P, A से m हिस्से आगे है। इसलिए B के निर्देशांक का गुणक m आता है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0AA(2, -1)BB(8, 5)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

m:n में आंतरिक विभाजन बिंदु = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))। अनुपात का क्रम बिंदुओं के क्रम से मिलाएँ।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x = (1·8 + 2·2)/3 = 12/3 = 4

चरण (Step) 2

y = (1·5 + 2·(−1))/3 = 3/3 = 1

उत्तर (Answer)

P = (4, 1)

ध्यान रखें (Remember)

आंतरिक विभाजन में बिंदु सिरों के बीच हो। m = n रखने पर मध्य-बिंदु सूत्र मिलना चाहिए।

उदाहरण 2 (Example 2) — A(1, 1), B(4, 10), 1 : 2
A(1, 1) और B(4, 10) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु?

तरीका (Method)

AP:PB = m:n में P, A से m हिस्से आगे है। इसलिए B के निर्देशांक का गुणक m आता है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0AA(1, 1)BB(4, 10)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

m:n में आंतरिक विभाजन बिंदु = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))। अनुपात का क्रम बिंदुओं के क्रम से मिलाएँ।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x = (4 + 2)/3 = 2

चरण (Step) 2

y = (10 + 2)/3 = 4

उत्तर (Answer)

P = (2, 4)

ध्यान रखें (Remember)

आंतरिक विभाजन में बिंदु सिरों के बीच हो। m = n रखने पर मध्य-बिंदु सूत्र मिलना चाहिए।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
A(2, −1), B(8, 5) को 2 : 1 मानकर P = (6, 3) ❌
अनुपात m : n में m उस सिरे (B) के साथ जाता है जो दूसरे सिरे से गुणा होता है — 1 : 2 को उलटने पर बिंदु बदल जाता है
1 : 2 के लिए P = (4, 1)

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

बिंदुओं A(6, 7) और B(10, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

बिंदुओं A(1, -3) और B(-5, -12) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 2 सवाल, पूरे हल के साथ← पिछला विषय (Previous topic): मध्य बिंदु से दूसरा सिराअगला विषय (Next topic): त्रिभुज का केन्द्रक →