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120 प्रश्न · 120 अंक · 2 घंटे
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सही उत्तर: (A) (−∞, 5/2) ∪ (33/8, ∞)
(4x + 3)/(2x − 5) < 6 को हल करने पर (−8x + 33)/(2x − 5) < 0 मिलता है, जिससे x < 5/2 या x > 33/8।
सही उत्तर: (A) 0, sin α, cos α
yz-तल में रेखा का x-दिक्-कोज्या शून्य रहता है और z-अक्ष से कोण α होने पर दिक्-कोज्याएँ 0, sin α, cos α होती हैं।
सही उत्तर: (B) 6
दिए गए पदों का अनुपात [2n(2n−1)(2n−2)/6] ÷ [n(n−1)/2] = 44/3 हल करने पर n = 6 मिलता है।
सही उत्तर: (A) 1/4
f(x) = x² − x से f′(x) = 2x − 1; f(1/2) − f(0) = (1/2)f′(c) देने पर c = 1/4 आता है।
सही उत्तर: (A) 3 and 2
ⁿCᵣ = ⁿCᵣ₋₁ से n = 2r − 1 और ⁿPᵣ = ⁿPᵣ₊₁ से n − r = 1; दोनों हल करने पर n = 3 और r = 2।
सही उत्तर: (B) 2π cm³/second
V = (4/3)πr³ से dV/dt = 4πr² (dr/dt) = 4π × 1 × 1/2 = 2π घन सेमी प्रति सेकंड।
सही उत्तर: (E) None of the above
ठीक दो लड़कियाँ चुनने के तरीके C(4,2) × C(6,3) = 6 × 20 = 120 हैं, जो दिए गए विकल्पों में नहीं—उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
सही उत्तर: (A) (0, ±4)
स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर वहीं होगी जहाँ dy/dx = 0, यानी x = 0 पर—इसलिए बिंदु (0, ±4) हैं।
सही उत्तर: (A) n × 2ⁿ⁻¹
C₁ + 2C₂ + ⋯ + nCₙ = n·2ⁿ⁻¹ होता है, जो (1 + x)ⁿ का अवकलन करके x = 1 रखने से मिलता है।
सही उत्तर: (C) r/2
शंकु में अंतर्निहित बेलन का वक्र पृष्ठ अधिकतम तब होता है जब बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी, यानी r/2 हो।
सही उत्तर: (E) None of the above
(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹)/(aⁿ + bⁿ) = √(ab) तब होता है जब n = −1/2 हो, जो दिए गए विकल्पों में नहीं—उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
सही उत्तर: (B) −1/3
y′ = 4x + 3 cos x से x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 3 है, इसलिए अभिलंब की प्रवणता −1/3 होगी।
सही उत्तर: (D) More than one of the above
योग −3 और गुणनफल 8 देने वाली संख्याएँ −4, −1, 2 हैं; वही क्रम उलटकर भी दिया गया है, इसलिए एक से अधिक विकल्प सही हैं।
सही उत्तर: (C) x = t⁶
2 और 3 का लघुत्तम 6 है, इसलिए x = t⁶ रखने से दोनों मूल सरल हो जाते हैं।
सही उत्तर: (C) 60 cm
36° = π/5 रेडियन; चाप = त्रिज्या × कोण से 12π = r × π/5, इसलिए r = 60 सेमी।
सही उत्तर: (B) (1/n) log |xⁿ/(xⁿ + 1)| + c
समाकलन करने पर (1/n) log |xⁿ/(xⁿ + 1)| + c मिलता है।
सही उत्तर: (C) cos(x + y)
पहले स्तंभ से प्रसार करने पर सारणिक = cos x cos y − sin x sin y = cos(x + y)।
सही उत्तर: (A) eʸ = eˣ + x³/3 + c
dy/dx = e^(x−y) + x²e^(−y) को eʸ dy = (eˣ + x²) dx लिखकर समाकलित करने पर eʸ = eˣ + x³/3 + c।
सही उत्तर: (A) π/4
tan⁻¹5 − tan⁻¹3 = tan⁻¹(2/16) = tan⁻¹(1/8); उसमें tan⁻¹(7/9) जोड़ने पर tan⁻¹1 = π/4 मिलता है।
सही उत्तर: (C) d²y/dx² + y = 0
y = a sin(x + b) का दो बार अवकलन करने पर y″ = −y, यानी d²y/dx² + y = 0।
सही उत्तर: (C) (1/2) sin⁻¹(3/4)
sin(π cos q) = cos(π sin q) से π cos q + π sin q = π/2, जिससे sin q + cos q = 1/2 और आगे हल करने पर q = (1/2) sin⁻¹(3/4)।
सही उत्तर: (A) 1/yⁿ⁻¹ = v
बर्नूली समीकरण में yⁿ से भाग देकर 1/yⁿ⁻¹ = v रखने पर वह रैखिक रूप ले लेता है।
सही उत्तर: (E) None of the above
परवलय y² = 4ax की नाभीय जीवा के लिए t₁t₂ = −1 होता है, जो दिए गए विकल्पों में नहीं—उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
सही उत्तर: (B) tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)
tan y = v रखने पर समीकरण रैखिक हो जाता है और हल tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1) मिलता है।
सही उत्तर: (A) 1
दो संयुग्मी अतिपरवलयों के लिए 1/e₁² + 1/e₂² = 1 होता है।
सही उत्तर: (C) 3
यहाँ अभीष्ट अदिश त्रिगुणन है—i·(j × k), j·(k × i) और k·(i × j), जिनमें से प्रत्येक का मान 1 होता है, इसलिए योग 3 आता है।
सही उत्तर: (B) Continuous at every x, but not differentiable at x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z
|cos x| हर बिंदु पर सतत है, पर जहाँ cos x शून्य होता है वहाँ उसका अवकलन नहीं लिया जा सकता।
सही उत्तर: (C) p³r − q³ = 0
मूल गुणोत्तर श्रेणी में हों तो मध्य मूल = r^(1/3) और समीकरण में रखने पर शर्त p³r − q³ = 0 मिलती है।
सही उत्तर: (B) Continuous on [−1, 1] and differentiable on (−1, 0) ∪ (0, 1)
यह फलन [−1, 1] पर सतत है, पर x = 0 और सिरों पर अवकलनीय नहीं—इसलिए दूसरा विकल्प सही है।
सही उत्तर: (C) 2/7
लीप वर्ष में 52 सप्ताह और दो अतिरिक्त दिन होते हैं; सात संभावित जोड़ियों में से दो में रविवार आता है, इसलिए प्रायिकता 2/7।
सही उत्तर: (C) 1/(1 − x²)
दी गई श्रेणी का अवकलन 1 + x² + x⁴ + ⋯ है, जिसका योग 1/(1 − x²) होता है।
सही उत्तर: (B) 1/3
कम-से-कम एक लड़का होने पर संभावित दशाएँ BB, BG, GB हैं, जिनमें दोनों लड़के होने की प्रायिकता 1/3 है।
सही उत्तर: (A) Collinear
AB और AC के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं, इसलिए तीनों बिंदु एक ही रेखा पर हैं।
सही उत्तर: (B) 0.58
स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58।
सही उत्तर: (B) 1
दोनों व्यंजक 2 tan⁻¹x के बराबर हैं, इसलिए एक का दूसरे के प्रति अवकलज 1 होता है।
सही उत्तर: (B) 11th
श्रेणी का सार्व अनुपात 1/√5 है; 5 × (1/√5)^(n−1) = 1/625 हल करने पर n = 11 मिलता है।
सही उत्तर: (B) a²y
y = e^(a cos⁻¹x) का दो बार अवकलन करने पर (1 − x²)y″ − xy′ = a²y मिलता है।
सही उत्तर: (E) None of the above
x − 2 = u रखने पर समीकरण u² − 4|u| + 4 = 0 बनता है, जिससे |u| = 2 और x = 0 या 4; इनका योग 4 है, जो दिए गए विकल्पों में नहीं—उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
x² − 4x + 8 को (x − 2)² + 4 लिखिए और t = x − 2 रखिए। तब समीकरण बनता है t² − 4|t| + 4 = 0, यानी (|t| − 2)² = 0, जिससे |t| = 2 और t = ±2। इसलिए x = 4 अथवा x = 0, और मूलों का योग 4 + 0 = 4 है—जो 8, 9 या 6 में से कोई नहीं। आयोग की कुंजी में विकल्प A (8) है, पर हल करने पर योग 4 ही आता है।
सही उत्तर: (D) More than one of the above
दिक्-अनुपात (−3, −4, 0) और (1, 2, 2) से cos θ = 11/15 आता है; साथ ही cos⁻¹(1/3) और sec⁻¹3 परस्पर समान रूप हैं, इसलिए उत्तर 'एक से अधिक' है।
सही उत्तर: (A) ±2
f(x) = x² − 6 = −2 से x² = 4, इसलिए f⁻¹(−2) = ±2।
सही उत्तर: (E) None of the above
n = −1 पर सूत्र टूट जाता है, क्योंकि तब हर शून्य हो जाता है और समाकलन log|x| देता है—यह मान दिए गए विकल्पों में नहीं, इसलिए उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
सही उत्तर: (C) π/4 + x/2
अर्धकोण सूत्रों से √((1 + sin x)/(1 − sin x)) = tan(π/4 + x/2), इसलिए मान π/4 + x/2 है।
सही उत्तर: (E) None of the above
यह प्रसिद्ध समाकल π/4 के बराबर आता है, जो दिए गए विकल्पों में नहीं—इसलिए उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
सही उत्तर: (A) θ = tan⁻¹√(p/q)
अवकलन शून्य रखने पर tan θ = √(p/q) मिलता है, इसलिए अधिकतम मान θ = tan⁻¹√(p/q) पर आता है।
सही उत्तर: (B) d²y/dx² − 2dy/dx + 2y = 0
y = eˣ(A cos x + B sin x) के लिए अवकल समीकरण y″ − 2y′ + 2y = 0 होता है।
सही उत्तर: (C) ax sec θ − by cosec θ = a² − b²
दीर्घवृत्त के बिंदु (a cos θ, b sin θ) पर अभिलंब का समीकरण ax sec θ − by cosec θ = a² − b² होता है।
सही उत्तर: (E) None of the above
x dy/dx + y = y² का हल y(1 − cx) = 1 के रूप में आता है, जो दिए गए विकल्पों से भिन्न है—इसलिए उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
सही उत्तर: (B) 60°
a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c; दी गई शर्त से a·c = 1/2, इसलिए इकाई सदिशों के बीच कोण 60° है।
सही उत्तर: (B) (15/√10)i + (5/√10)j
a = 3i + j का परिमाण √10 है, इसलिए उसी दिशा में 5 इकाई का सदिश (15/√10)i + (5/√10)j होगा।
सही उत्तर: (B) x = 1/6
tan⁻¹2x + tan⁻¹3x = π/4 से (5x)/(1 − 6x²) = 1, जिससे 6x² + 5x − 1 = 0 और स्वीकार्य मूल x = 1/6।