The position vectors of points A and B are i + j and j + k, respectively. If point C divides the line segment AB in the ratio 2:1, then the position vector of C is
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सही उत्तर: (C) (i + 3j + 2k)/3 2:1 में विभाजन से C का स्थिति सदिश = [1·(i + j) + 2·(j + k)]/3 = (i + 3j + 2k)/3।
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प्रश्न 102
If A = [[cos α, −sin α], [sin α, cos α]] and A + A′ = I, then the value of α is
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सही उत्तर: (B) π/3 A + A′ = 2cos α · I देता है, इसलिए 2 cos α = 1 और α = π/3।
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प्रश्न 103
If a and b are unit vectors and the angle between them is θ, then sin(θ/2) is
Which of the following partially ordered sets is a chain?
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सही उत्तर: (C) (R, ≤), where R is the real numbers and a ≤ b means a is less than or equal to b शृंखला (chain) वह आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो अवयव तुलनीय हों—वास्तविक संख्याओं पर ≤ ऐसा ही है।
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प्रश्न 105
If a = 2i + 5j + 3k, b = 3i + 3j + 6k and c = 2i + 7j + 4k, then |(a − b) × (c − a)| is
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सही उत्तर: (E) None of the above (a − b) × (c − a) = 8i + j − 2k निकलता है, जिसका परिमाण √69 है—यह दिए गए विकल्पों में नहीं, इसलिए उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
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प्रश्न 106
Three vectors a, b and c are such that |a| = 3, |b| = 4, |c| = 5, and each is perpendicular to the sum of the other two. What is |a + b + c|?
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सही उत्तर: (A) 5√2 प्रत्येक सदिश शेष दो के योग पर लंब होने से सभी अदिश गुणनफल शून्य हो जाते हैं, इसलिए |a + b + c| = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2।
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प्रश्न 107
The coordinates of the foot of the perpendicular drawn from A(1, 2, 1) to the line joining B(1, 4, 6) and C(5, 4, 4) are
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सही उत्तर: (A) (3, 4, 5) BC की दिशा (4, 0, −2) लेकर लंब-पाद निकालने पर बिंदु (3, 4, 5) मिलता है।
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प्रश्न 108
The work done by forces P = 3i − 2j + k and Q = i + 3j − 5k in displacing a particle from A, whose position vector is −2i + 5k, to B, whose position vector is 3i − 7j + 2k, is
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सही उत्तर: (C) 25 units कुल बल P + Q = 4i + j − 4k और विस्थापन AB = 5i − 7j − 3k; इनका अदिश गुणनफल 20 − 7 + 12 = 25 इकाई कार्य देता है।
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प्रश्न 109
The coordinates of the point where the line (x − 1)/2 = (y − 2)/(−3) = (z + 5)/4 cuts the plane 2x + 4y − z = 3 are
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सही उत्तर: (E) None of the above रेखा के प्राचलिक रूप को समतल में रखने पर t = 1 मिलता है और बिंदु (3, −1, −1) आता है, जो दिए गए विकल्पों में नहीं—इसलिए उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
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प्रश्न 110
The moment about the point i + 2j − k of the force 3i + k, whose line of action passes through the point 2i − j + 3k, is
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सही उत्तर: (B) −3i + 11j + 9k आघूर्ण = r × F, जिसमें r क्रिया-बिंदु और दिए गए बिंदु का अंतर है; गणना करने पर −3i + 11j + 9k मिलता है।
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प्रश्न 111
The minimum distance between the lines (x − 3)/3 = (y − 8)/(−1) = z − 3 and (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 is
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सही उत्तर: (C) 3√30 दोनों रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र लगाने पर 3√30 आता है।
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प्रश्न 112
Find the number of permutations of the letters of the word ‘PRAYAGRAJ’.
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सही उत्तर: (B) 30240 'PRAYAGRAJ' में नौ अक्षर हैं, जिनमें A तीन बार और R दो बार आता है, इसलिए क्रमचय 9!/(3!2!) = 30240।
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प्रश्न 113
The equation of the plane passing through the line of intersection of planes x + 2y + 3z − 4 = 0 and 2x + y − z + 5 = 0, and perpendicular to the plane 5x + 3y − 6z + 8 = 0, is
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सही उत्तर: (B) 33x + 45y + 50z − 41 = 0 दोनों समतलों के परिवार से समतल लेकर लंबता की शर्त लगाने पर 33x + 45y + 50z − 41 = 0 मिलता है।
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प्रश्न 114
The term independent of x in the expansion of (3x²/2 − 1/(3x))⁶ is
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सही उत्तर: (A) 5/12 व्यापक पद में x की घात शून्य रखने पर चौथा पद मिलता है, जिसका मान 5/12 है।
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प्रश्न 115
The mean and variance of five observations are 4.4 and 8.24, respectively. If three observations are 1, 2 and 6, then the other two observations are
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सही उत्तर: (D) More than one of the above शेष दो प्रेक्षण 4 और 9 हैं; क्रम बदलकर वही उत्तर दूसरे विकल्प में भी है, इसलिए उत्तर 'एक से अधिक' है।
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प्रश्न 116
If w is an imaginary cube root of unity, then the value of (1 + w − w²)(w + w² − 1)(w² + 1 − w) is
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सही उत्तर: (B) −8 1 + ω + ω² = 0 के प्रयोग से प्रत्येक कोष्ठक −2ω², −2 और −2ω के रूप में आता है, जिनका गुणनफल −8 है।
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प्रश्न 117
From a group of 7 men and 4 women, a committee of 6 persons is formed. The probability that the committee consists of exactly 2 women is
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सही उत्तर: (A) 5/11 ठीक दो महिलाएँ आने के तरीके C(4,2) × C(7,4) = 6 × 35 = 210 और कुल तरीके C(11,6) = 462, इसलिए प्रायिकता 210/462 = 5/11।
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प्रश्न 118
The sum of the series 2x/(1 + x²) + (1/3)(2x/(1 + x²))³ + (1/5)(2x/(1 + x²))⁵ + ⋯ to infinity is
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सही उत्तर: (B) logₑ((1 + x)/(1 − x)) यह श्रेणी tanh⁻¹ के प्रसार जैसी है; 2x/(1 + x²) रखने पर उसका योग logₑ((1 + x)/(1 − x)) आता है।
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प्रश्न 119
p ⇒ q is false if
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सही उत्तर: (B) p is true and q is false p ⇒ q केवल तभी असत्य होता है जब p सत्य और q असत्य हो।
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प्रश्न 120
The constraints x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 determine a triangular region with vertices
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सही उत्तर: (A) (0, 5), (0, 6) and (4, 3) x + 2y ≥ 10 और 3x + 4y ≤ 24 के साथ अक्षों की शर्तें लगाने पर शीर्ष (0, 5), (0, 6) और (4, 3) मिलते हैं।