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A.P. के प्रथम n पदों का योग (Sum of the First n Terms)

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आज क्या सीखेंगे

n पदों का योग ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
सोनाली ने हर दिन अभ्यास का समय बढ़ाया — पहले दिन 2 घंटे, फिर हर दिन 4 घंटे ज़्यादा।
छह दिन में कुल कितने घंटे अभ्यास हुआ? हर दिन का हिसाब जोड़ने के बजाय एक सूत्र काम आता है।
🧠 समझिए (Understand)
A.P. के पहले n पदों का योग Sₙ कहलाता है।
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] — यहाँ n/2 इसलिए क्योंकि पद आगे-पीछे जोड़कर जोड़े बनते हैं।
पहला और आख़िरी पद पता हों, तो Sₙ = n/2 (a + aₙ)।
पहले और आखिरी, दूसरे और आखिरी से पहले पद का योग बराबर होता है। इसी जोड़ी बनाने से योग का सूत्र आता है।
योग S को आगे और पीछे लिखें: S = a + … + l और S = l + … + a। जोड़ने पर हर जोड़ा a + l है और ऐसे n जोड़े हैं। इसलिए 2S = n(a + l), अर्थात S = n(a + l)/2।
सूत्र (Formula)
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] Sₙ = n/2 (a + aₙ)
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. a, d, n पहचानिए।
  2. 2a + (n − 1)d निकालिए।
  3. n/2 से गुणा कीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — 2, 6, 10, ... के 6 पद
A.P. 2, 6, 10, ... के प्रथम 6 पदों का योग?

तरीका (Method)

पहले और आखिरी, दूसरे और आखिरी से पहले पद का योग बराबर होता है। इसी जोड़ी बनाने से योग का सूत्र आता है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

a = 2, d = 4, n = 6

चरण (Step) 2

S₆ = 6/2 × [2 × 2 + 5 × 4] = 3 × 24 = 72

जाँच (Check)

जाँच: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72 ✓

उत्तर (Answer)

S₆ = 72

ध्यान रखें (Remember)

nवें पद और n पदों के योग को अलग रखें। कम पद हों तो सीधे जोड़कर मिलाएँ।

उदाहरण 2 (Example 2) — 1, 4, 7, ... के 20 पद
A.P. 1, 4, 7, ... के प्रथम 20 पदों का योग?

तरीका (Method)

पहले और आखिरी, दूसरे और आखिरी से पहले पद का योग बराबर होता है। इसी जोड़ी बनाने से योग का सूत्र आता है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

a = 1, d = 3, n = 20

चरण (Step) 2

S₂₀ = 20/2 × [2 + 19 × 3] = 10 × 59 = 590

उत्तर (Answer)

S₂₀ = 590

ध्यान रखें (Remember)

nवें पद और n पदों के योग को अलग रखें। कम पद हों तो सीधे जोड़कर मिलाएँ।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
2, 6, 10, ... के 6 पदों का योग = n[a + (n − 1)d] = 6 × 24 = 144 ❌
सूत्र में n/2 है — सिर्फ़ n नहीं
n/2 भूलने से योग दोगुना आ जाता है
S₆ = 6/2 × 24 = 72

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

समांतर श्रेढ़ी (A.P.) 16, 20, 24, ... के प्रथम 19 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

समांतर श्रेढ़ी (A.P.) 11, 8, 5, ... के प्रथम 14 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 3 सवाल, पूरे हल के साथ← पिछला विषय (Previous topic): प्रश्नावली 5.2अगला विषय (Next topic): प्राकृत, विषम और क्रमागत संख्याओं का योग →