अभ्यास — प्रश्नावली 14.1 (Exercise 14.1)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. 24 संख्याओं का औसत (Average) शून्य है। इनमें से अधिकतम कितनी संख्याएँ शून्य से बड़ी हो सकती हैं ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 0

   (B) 1

   (C) 12

   (D) 23
   उत्तर देखें (See answer)
2. निम्नलिखित में कौन केन्द्रीय प्रवृति का माप नहीं है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) माध्य (Mean)

   (B) माध्यिका (Median)

   (C) बहुलक (Mode)

   (D) मानक विचलन
   उत्तर देखें (See answer)
3. यदि 6, 8, 9, x और 13 का माध्य (Mean) 10 है, तो x का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 12

   (B) 14

   (C) 16

   (D) 18
   उत्तर देखें (See answer)
4. a और b का समांतर माध्य (Mean) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) ab/2

   (B) (a+b)/2

   (C) (a−b)/2

   (D) √(ab)
   उत्तर देखें (See answer)
5. वर्ग अंतरालों 2−5, 5−8, 8−11, ... के वर्गों की लंबाई हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 2

   (B) 3

   (C) 4

   (D) 3.5
   उत्तर देखें (See answer)
6. यदि चार लगातार विषम संख्याओं का माध्य (Mean) 6 है, तो सबसे बड़ी संख्या हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 4.5

   (B) 9

   (C) 21

   (D) 15
   उत्तर देखें (See answer)
7. प्रथम 6 सम प्राकृत संख्याओं (Natural numbers) का माध्य (Mean) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 4

   (B) 6

   (C) 7

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
8. प्रथम दस विषम संख्याओं का माध्य (Mean) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 100

   (B) 10

   (C) 50

   (D) 20
   उत्तर देखें (See answer)
9. यदि पाँच प्रेक्षणों (Observations) x, x+2, x+4, x+6 एवं x+8 का माध्य (Mean) 11 हो तो x का मान होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 5

   (B) 6

   (C) 7

   (D) 8
   उत्तर देखें (See answer)
10. यदि x + 2, 2x + 3, 4x + 5 तथा 5x + 2 का माध्य (Mean) 18 है, तो x का मान होगा।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 5

    (B) 6

    (C) 3

    (D) 15
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए — पौधों की संख्या: 0-2,2-4,4-6,6-8,8-10,10-12,12-14; घरों की संख्या: 1,2,1,5,6,2,3। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   यहाँ f बारंबारता (Frequency), यानी उस वर्ग की गिनती है; x उस वर्ग का मध्य-बिंदु है। Σ का अर्थ सभी मानों को जोड़ना है। इसलिए Σfx, सभी f×x का योग और N सभी बारंबारताओं का योग है। माध्य (Mean)=Σfx/N।

   चरण (Step) 2 — वर्ग चिह्न निकालें

   हर वर्ग का मध्य = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा)/2। क्रम से x: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13।

   चरण (Step) 3 — बारंबारता से गुणा करें

   उसी क्रम में f × x: 1, 6, 5, 35, 54, 22, 39। कुल N=20; Σfx=162।

   चरण (Step) 4 — माध्य निकालें

   माध्य = Σfx/N = 162/20 = 8.1000 (लगभग)।

   उत्तर (Answer)

   माध्य = 8.1 — चूँकि xᵢ और fᵢ छोटे हैं, प्रत्यक्ष विधि उपयुक्त है।

2. किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी (₹ में) का बंटन — 100-120:12, 120-140:14, 140-160:8, 160-180:6, 180-200:10। एक उपयुक्त विधि द्वारा माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   यहाँ f बारंबारता (Frequency), यानी उस वर्ग की गिनती है; x उस वर्ग का मध्य-बिंदु है। Σ का अर्थ सभी मानों को जोड़ना है। इसलिए Σfx, सभी f×x का योग और N सभी बारंबारताओं का योग है। माध्य (Mean)=Σfx/N।

   चरण (Step) 2 — वर्ग चिह्न निकालें

   हर वर्ग का मध्य = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा)/2। क्रम से x: 110, 130, 150, 170, 190।

   चरण (Step) 3 — बारंबारता से गुणा करें

   उसी क्रम में f × x: 1320, 1820, 1200, 1020, 1900। कुल N=50; Σfx=7260।

   चरण (Step) 4 — माध्य निकालें

   माध्य = Σfx/N = 7260/50 = 145.2000 (लगभग)।

   उत्तर (Answer)

   माध्य = 726/5 = ₹145.20।

3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च ₹18 है। लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए — दैनिक जेब भत्ता: 11-13,13-15,15-17,17-19,19-21,21-23,23-25; बच्चों की संख्या: 7,6,9,13,f,5,4।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   यहाँ f बारंबारता (Frequency), यानी उस वर्ग की गिनती है; x उस वर्ग का मध्य-बिंदु है। Σ का अर्थ सभी मानों को जोड़ना है। इसलिए Σfx, सभी f×x का योग और N सभी बारंबारताओं का योग है। माध्य (Mean)=Σfx/N।

   चरण (Step) 2 — वर्ग चिह्न

   11–13 का मध्य 12 है। इसी तरह क्रम से x: 12,14,16,18,20,22,24।

   चरण (Step) 3 — दो योग बनाएँ

   कुल बारंबारता N = 7+6+9+13+f+5+4 = 44+f। Σfx = 7×12+6×14+9×16+13×18+20f+5×22+4×24 = 752+20f।

   चरण (Step) 4 — माध्य की शर्त

   18=(752+20f)/(44+f)। गुणा करने पर 792+18f=752+20f। इसलिए 40=2f और f=20।

   चरण (Step) 5 — जाँच

   N=64 और Σfx=1152। 1152/64=18, दिया माध्य मिल गया।

   उत्तर (Answer)

   लुप्त बारंबारता f=20।

4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या नोट की गई — 65-68:2, 68-71:4, 71-74:3, 74-77:8, 77-80:7, 80-83:4, 83-86:2। इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   यहाँ f बारंबारता (Frequency), यानी उस वर्ग की गिनती है; x उस वर्ग का मध्य-बिंदु है। Σ का अर्थ सभी मानों को जोड़ना है। इसलिए Σfx, सभी f×x का योग और N सभी बारंबारताओं का योग है। माध्य (Mean)=Σfx/N।

   चरण (Step) 2 — वर्ग चिह्न निकालें

   हर वर्ग का मध्य = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा)/2। क्रम से x: 66.5, 69.5, 72.5, 75.5, 78.5, 81.5, 84.5।

   चरण (Step) 3 — बारंबारता से गुणा करें

   उसी क्रम में f × x: 133, 278, 217.5, 604, 549.5, 326, 169। कुल N=30; Σfx=2277।

   चरण (Step) 4 — माध्य निकालें

   माध्य = Σfx/N = 2277/30 = 75.9000 (लगभग)।

   उत्तर (Answer)

   माध्य = 759/10 = 75.9।

5. वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) — 0.00-0.04:4, 0.04-0.08:9, 0.08-0.12:9, 0.12-0.16:2, 0.16-0.20:4, 0.20-0.24:2। वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   यहाँ f बारंबारता (Frequency), यानी उस वर्ग की गिनती है; x उस वर्ग का मध्य-बिंदु है। Σ का अर्थ सभी मानों को जोड़ना है। इसलिए Σfx, सभी f×x का योग और N सभी बारंबारताओं का योग है। माध्य (Mean)=Σfx/N।

   चरण (Step) 2 — वर्ग चिह्न निकालें

   हर वर्ग का मध्य = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा)/2। क्रम से x: 0.02, 0.06, 0.1, 0.14, 0.18, 0.22।

   चरण (Step) 3 — बारंबारता से गुणा करें

   उसी क्रम में f × x: 0.08, 0.54, 0.9, 0.28, 0.72, 0.44। कुल N=30; Σfx=2.96।

   चरण (Step) 4 — माध्य निकालें

   माध्य = Σfx/N = 2.96/30 = 0.0987 (लगभग)।

   उत्तर (Answer)

   माध्य = 37/375 ≈ 0.099 ppm।

6. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए — 45-55:3, 55-65:10, 65-75:11, 75-85:8, 85-95:3।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त संबंध (Relation)

   मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए 3×माध्यिका = बहुलक + 2×माध्य।

   चरण (Step) 1 — नियम समझें

   यहाँ f बारंबारता (Frequency), यानी उस वर्ग की गिनती है; x उस वर्ग का मध्य-बिंदु है। Σ का अर्थ सभी मानों को जोड़ना है। इसलिए Σfx, सभी f×x का योग और N सभी बारंबारताओं का योग है। माध्य (Mean)=Σfx/N।

   चरण (Step) 2 — वर्ग चिह्न निकालें

   हर वर्ग का मध्य = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा)/2। क्रम से x: 50, 60, 70, 80, 90।

   चरण (Step) 3 — बारंबारता से गुणा करें

   उसी क्रम में f × x: 150, 600, 770, 640, 270। कुल N=35; Σfx=2430।

   चरण (Step) 4 — माध्य निकालें

   माध्य = Σfx/N = 2430/35 = 69.4286 (लगभग)।

   उत्तर (Answer)

   माध्य = 486/7 ≈ 69.43%।

7. प्रथम 10 अभाज्य संख्याओं (Prime numbers) का माध्य (Mean) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
8. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य (Mean) ज्ञात करें : चर 4, 6, 8, 10, 12 तथा उनकी बारंबारता (Frequency) क्रमशः 4, 8, 14, 11, 3 है।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. निम्नलिखित बंटन का माध्य (Mean) ज्ञात करें : वर्ग अंतराल (Class interval) 11-13, 13-15, 15-17, 17-19, 19-21, 21-23, 23-25 के संगत (Corresponding) बारंबारता (Frequency) क्रमशः 7, 6, 9, 13, 20, 5, 4 हैं।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)