अभ्यास — प्रश्नावली 5.1 (Exercise 5.1)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. निम्नलिखित स्थिति में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों — प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹8 है।
   (A) हाँ, A.P. है

   (B) नहीं, A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — सूची बनाएँ

   किराया क्रमशः 15, 15+8=23, 23+8=31, ... है।

   उत्तर (Answer)

   हर बार ठीक ₹8 जुड़ता है — यह A.P. है, d=8।

2. निम्नलिखित स्थिति में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों — किसी बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग बाहर निकाल देता है।
   (A) हाँ, A.P. है

   (B) नहीं, A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — सूची बनाएँ

   शुरू में V हो तो क्रमशः V, (3/4)V, (3/4)²V, ... बचती है।

   उत्तर (Answer)

   हर बार घटाव स्थिर नहीं, 3/4 से गुणा होता है — यह A.P. नहीं, गुणोत्तर प्रकार है।

3. निम्नलिखित स्थिति में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों — प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹50 बढ़ती जाती है।
   (A) हाँ, A.P. है

   (B) नहीं, A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — सूची बनाएँ

   लागत क्रमशः 150, 200, 250, ... है।

   उत्तर (Answer)

   हर बार ठीक ₹50 जुड़ता है — यह A.P. है, d=50।

4. निम्नलिखित स्थिति में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों — खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
   (A) हाँ, A.P. है

   (B) नहीं, A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   सवाल को A.P. में बदलने का नियम (Rule)

   पहली राशि को a, हर बार की बढ़ोतरी या कमी को d और कुल बार को n मानें। कुल राशि के लिए Sₙ का सूत्र लगाएँ।

   चरण (Step) 1 — सूची बनाएँ

   मिश्रधन क्रमशः 10000, 10000×1.08, 10000×1.08², ... है।

   उत्तर (Answer)

   हर बार 1.08 से गुणा होता है, जोड़ा नहीं जाता — यह A.P. नहीं है।

5. निम्नलिखित सूचियों में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इसके तीन और पद लिखिए — 2, 4, 8, 16, ...
   (A) A.P. है

   (B) A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — अंतर जाँचें

   4−2=2, 8−4=4, 16−8=8 — अंतर बराबर नहीं।

   उत्तर (Answer)

   यह A.P. नहीं है (यह गुणोत्तर श्रेढ़ी है, हर बार 2 से गुणा)।

6. निम्नलिखित सूचियों में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इसके तीन और पद लिखिए — 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2, ...
   (A) A.P. है

   (B) A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — अंतर जाँचें

   हर बार ठीक √2 जुड़ता है — d=√2।

   चरण (Step) 2 — अगले पद

   3+4√2, 3+5√2, 3+6√2।

   उत्तर (Answer)

   A.P. है, d = √2; अगले तीन पद 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2

7. निम्नलिखित सूचियों में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इसके तीन और पद लिखिए — 1, 3, 9, 27, ...
   (A) A.P. है

   (B) A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — अंतर जाँचें

   3−1=2, 9−3=6, 27−9=18 — अंतर बराबर नहीं।

   उत्तर (Answer)

   यह A.P. नहीं है (हर बार 3 से गुणा)।

8. निम्नलिखित सूचियों में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इसके तीन और पद लिखिए — √2, √8, √18, √32, ...
   (A) A.P. है

   (B) A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — सरल करें

   √8=2√2, √18=3√2, √32=4√2 — यानी सूची √2, 2√2, 3√2, 4√2 है।

   उत्तर (Answer)

   हर बार √2 जुड़ता है — A.P. है, d=√2। अगले पद 5√2=√50, 6√2=√72, 7√2=√98।

9. निम्नलिखित सूचियों में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इसके तीन और पद लिखिए — √3, √6, √9, √12, ...
   (A) A.P. है

   (B) A.P. नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — सरल करें

   √3, √6, 3, 2√3 — ये √2×(1, √2, √3, 2) की तरह नहीं बँटते; अंतर बराबर नहीं हैं।

   उत्तर (Answer)

   √6−√3 ≈ 0.87 और 3−√6 ≈ 0.55 — बराबर नहीं। A.P. नहीं है।

10. निम्नलिखित सूचियों में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए — 1², 5², 7², 73, ...
    (A) A.P. है

    (B) A.P. नहीं है
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

    चरण (Step) 1 — मान निकालें

    1²=1, 5²=25, 7²=49, और अगला पद 73 दिया है।

    चरण (Step) 2 — अंतर जाँचें

    25−1=24, 49−25=24, 73−49=24 — सभी बराबर। A.P. है, d=24।

    उत्तर (Answer)

    A.P. है, d = 24

11. अनुक्रम 5, 9, 13, 17, 21, ... का सार्व अंतर (Common difference) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 5

    (B) -4

    (C) 4

    (D) -5
    उत्तर देखें (See answer)
12. समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) 7, 7+√3, 7+2√3, 7+3√3 का सार्व अंतर (Common difference) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 3

    (B) √3

    (C) 7

    (D) 2
    उत्तर देखें (See answer)
13. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में नहीं है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) −7, −5, −3, −1, ...

    (B) 3, 5, 7, 9,...

    (C) 2, 4, 6, 8, ...

    (D) 2², 4², 6², 8²,...
    उत्तर देखें (See answer)
14. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 1, 4, 8, 10, ...

    (B) 2², 3², 4², 5²,...

    (C) 10, 6, 3, 1, ...

    (D) 3, 6, 9, 12, ...
    उत्तर देखें (See answer)
15. यदि x + 2, 3x और 4x + 1 समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में हों तो x का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 2

    (B) 1

    (C) 3

    (D) 4
    उत्तर देखें (See answer)
16. यदि P+1, 2P+1, 4P−1 समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में हैं तो P का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 1

    (B) 2

    (C) 3

    (D) 4
    उत्तर देखें (See answer)
17. समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) 1, 5, 9, ... का सार्व अंतर (Common difference) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 2

    (B) 3

    (C) 4

    (D) 5
    उत्तर देखें (See answer)
18. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 1, 7, 9, 16, ...

    (B) x², x³, x⁴, x⁵, ...

    (C) x, 2x, 3x, 4x, ...

    (D) 2², 4², 6², 8², ...
    उत्तर देखें (See answer)
19. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में नहीं है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 1, 2, 3, 4, ...

    (B) 3, 6, 9, 12, ...

    (C) 2, 4, 6, 8, ...

    (D) 2², 4², 6², 8², ...
    उत्तर देखें (See answer)
20. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) है?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 0.3, 0.33, 0.333, …

    (B) 1, 11, 111, …

    (C) 2, 4, 8, 16, …

    (D) 0, -4, -8, -12, …
    उत्तर देखें (See answer)
21. p के किस मान के लिए पद (2p+1), 13, (5p-3) समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में है?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 3

    (B) 4

    (C) 12

    (D) 6
    उत्तर देखें (See answer)
22. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) में है?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 0.4, 0.44, 0.444, ...

    (B) 1, 11, 111, ...

    (C) 2, 4, 8, 16, ...

    (D) 0, -4, -8, -12, ...
    उत्तर देखें (See answer)
23. समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) √18, √50, √98, √162, ... का सार्व अंतर (Common difference) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 2

    (B) 2√2

    (C) 3

    (D) 2√3
    उत्तर देखें (See answer)
24. यदि (2x - 1), (3x + 2) एवं (6x - 1) किसी समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) के तीन क्रमागत पद हैं, तो x का मान होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 3

    (B) 2

    (C) 4

    (D) 1
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए — a = 10, d = 10
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — पद बनाएँ

   a=10 से शुरू कर हर बार 10 जोड़ें: 10, 20, 30, 40।

   उत्तर (Answer)

   10, 20, 30, 40

2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए — a = −1, d = 1/2
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — पद बनाएँ

   a=−1 से शुरू कर हर बार 1/2 जोड़ें: −1, −1/2, 0, 1/2।

   उत्तर (Answer)

   −1, −1/2, 0, 1/2

3. निम्नलिखित A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए — 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, ...
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।

   चरण (Step) 1 — d निकालें

   d = 5/3 − 1/3 = 4/3। जाँच: 9/3−5/3=4/3, 13/3−9/3=4/3।

   उत्तर (Answer)

   a = 1/3, d = 4/3