ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
x²−5x+2x−10 = x(x−5)+2(x−5) = (x−5)(x+2)।
x−5=0 या x+2=0 से x=5 या x=−2।
x = 5, −2
ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
2x²+4x−3x−6 = 2x(x+2)−3(x+2) = (2x−3)(x+2)।
2x−3=0 या x+2=0 से x=3/2 या x=−2।
x = 3/2, −2
ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
√2x²+2x+5x+5√2 = √2x(x+√2)+5(x+√2) = (√2x+5)(x+√2)।
√2x+5=0 या x+√2=0 से x=−5/√2=−5√2/2 या x=−√2।
x = −√2, −5√2/2
ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
16x²−8x+1=0।
16x²−4x−4x+1 = 4x(4x−1)−1(4x−1) = (4x−1)²।
4x−1=0 से x=1/4 — दोनों मूल बराबर हैं।
x = 1/4, 1/4 (दोहरा मूल)
ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
100x²−10x−10x+1 = 10x(10x−1)−1(10x−1) = (10x−1)²।
10x−1=0 से x=1/10 — दोनों मूल बराबर हैं।
x = 1/10, 1/10 (दोहरा मूल)
ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
x² − 45x + 324 = 0, जहाँ x जॉन के कंचे।
x²−36x−9x+324 = x(x−36)−9(x−36) = (x−36)(x−9)।
x=36 या x=9 — दोनों ही मान्य हैं (एक का x दूसरे का 45−x)।
जॉन के 36 और जीवंती के 9 कंचे (या जॉन के 9 और जीवंती के 36)
ax² + bx + c में बीच का पद बाँटने के लिए ऐसी दो संख्याएँ लेते हैं जिनका योग b और गुणनफल ac हो। गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।
x² − 55x + 750 = 0, जहाँ x खिलौनों की संख्या।
x²−25x−30x+750 = x(x−25)−30(x−25) = (x−25)(x−30)।
x=25 या x=30 — दोनों मान्य हैं।
उस दिन 25 या 30 खिलौने बने
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
एक संख्या x, दूसरी 27−x। x(27−x)=182 से x²−27x+182=0।
x²−13x−14x+182 = x(x−13)−14(x−13) = (x−13)(x−14)।
x=13 या 14 — संख्याएँ 13 और 14 हैं।
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। कर्ण 13 cm का हो।
अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (पहली भुजा)² + (दूसरी भुजा)²। छोटी भुजा x हो तो बड़ी भुजा सवाल के अनुसार x + अंतर होगी।
आधार x, ऊँचाई x−7। पाइथागोरस प्रमेय से x²+(x−7)²=13²।
2x²−14x+49=169 से 2x²−14x−120=0, यानी x²−7x−60=0।
(x−12)(x+5)=0 से x=12 या x=−5 (अस्वीकृत)। आधार=12 cm, ऊँचाई=5 cm।
आधार = 12 cm, ऊँचाई = 5 cm
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी।
निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
बर्तनों की संख्या x, प्रति नग लागत 2x+3। x(2x+3)=90 से 2x²+3x−90=0।
2x²+15x−12x−90 = x(2x+15)−6(2x+15) = (2x+15)(x−6)।
x=6 (x=−15/2 अस्वीकृत)। लागत = 2(6)+3 = 15।