त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|।
तीन बिंदु एक सीधी रेखा पर हों तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा। बिंदु A(1,5), B(2,3), C(−2,−11) लें।
क्षेत्रफल = ½|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|। यहाँ | | का अर्थ है अंदर के परिणाम का धनात्मक मान लेना। अतः क्षेत्रफल = ½|1(3+11)+2(−11−5)+(−2)(5−3)|।
क्षेत्रफल = ½|14−32−4| = ½×22 = 11 वर्ग इकाई। यह 0 नहीं है, इसलिए तीनों बिंदु संरेख नहीं हैं।
नहीं, संरेख नहीं हैं
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
चारों भुजाएँ 2√2 के बराबर हैं और दोनों विकर्ण 4 के बराबर हैं।
सभी भुजाएँ बराबर और विकर्ण भी बराबर — यह वर्ग है।
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं: दोनों √10 और दोनों 3√2।
विकर्ण 2 और 2√13 बराबर नहीं — आयत नहीं, पर सम्मुख भुजाएँ बराबर होने से यह समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
√[(4−2)²+(1−3)²] = √[4+4] = 2√2।
√[(−1+5)²+(3−7)²] = √[16+16] = 4√2।
√[(−a−a)²+(−b−b)²] = √[4a²+4b²] = 2√(a²+b²)।
(i) 2√2 (ii) 4√2 (iii) 2√(a²+b²)
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
√[(36−0)²+(15−0)²] = √[1296+225] = √1521 = 39।
हाँ — शहर A(0,0) और B(36,15) के बीच की दूरी भी 39 किमी है।
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
दो बिंदुओं के बीच दूरी = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]। AB=√[(6−3)²+(7−4)²]=√18=3√2। इसी तरह BC=√(3²+(−3)²), CD=√((−3)²+(−3)²), DA=√((−3)²+3²); सभी 3√2 हैं।
AC=√[(9−3)²+(4−4)²]=6 और BD=√[(6−6)²+(1−7)²]=6। चारों भुजाएँ आपस में बराबर हैं, इसलिए यह समचतुर्भुज है। इसके दोनों विकर्ण भी आपस में बराबर हैं, इसलिए यह वर्ग है।
चंपा सही है — ABCD एक वर्ग है
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
x-अक्ष पर हर बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए बिंदु P(x,0) लें। A(2,−5) और B(−2,9) से दूरी बराबर है, इसलिए PA²=PB²।
(x−2)²+(0+5)²=(x+2)²+(0−9)²। वर्ग खोलें: x²−4x+4+25=x²+4x+4+81। दोनों ओर x² हटाने पर −4x+29=4x+85।
−8x=56 ⇒ x=−7। बिंदु (−7,0) से PA²=(−9)²+5²=106 और PB²=(−5)²+(−9)²=106। दोनों दूरियाँ बराबर हैं।
(−7, 0)
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
(10−2)²+(y+3)² = 100 से 64+(y+3)²=100।
(y+3)²=36 से y+3=±6, यानी y=3 या y=−9।
y = 3 या −9
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
QP²=QR² से 25+16 = x²+25, यानी x²=16, x=±4।
दोनों मानों पर QR=√41 मिलता है; x=4 पर PR=√82, x=−4 पर PR=9√2।
x = 4 या −4; x=4 पर QR=√41,PR=√82; x=−4 पर QR=√41,PR=9√2
दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।
P(x,y), A(3,6), B(−3,4) लें। PA=PB से उनके वर्ग भी बराबर हैं। दूरी सूत्र से (x−3)²+(y−6)²=(x+3)²+(y−4)²।
x²−6x+9+y²−12y+36=x²+6x+9+y²−8y+16। दोनों ओर से x², y² और 9 हटाएँ: −6x−12y+36=6x−8y+16।
सभी पद बाईं ओर लाएँ: −12x−4y+20=0। −4 से भाग दें: 3x+y−5=0, यानी 3x+y=5।
3x + y = 5