अभ्यास — प्रश्नावली 10.1 (Exercise 10.1)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
   (A) केवल 1

   (B) केवल 2

   (C) अपरिमित (असंख्य)
   उत्तर देखें (See answer)

   उत्तर (Answer)

   वृत्त के परिधि पर हर बिंदु पर एक स्पर्श रेखा होती है, और बिंदु असंख्य हैं — इसलिए स्पर्श रेखाएँ भी असंख्य हो सकती हैं।

   प्रयुक्त तथ्य (Fact)

   बाहरी बिंदु से दो, वृत्त के बिंदु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। समांतर स्पर्श रेखाओं की दूरी वृत्त का व्यास है।

2. 5 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 cm। PQ की लंबाई है:
   (A) 12 cm

   (B) 13 cm

   (C) 8.5 cm

   (D) √119 cm
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   O केंद्र है, P स्पर्श बिंदु और Q बाहरी बिंदु है। त्रिज्या OP, स्पर्शरेखा QP पर लंब है।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए समकोण त्रिभुज में PT = √(OT²−OP²)।

   चरण (Step) 1 — पाइथागोरस लगाएँ

   OP⊥PQ (प्रमेय 10.1)। PQ² = OQ²−OP² = 144−25 = 119।

   उत्तर (Answer)

   PQ = √119 cm।

3. किसी बाह्य बिन्दु (External point) से किसी वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ (Tangents) खींची जा सकती हैं ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) एक

   (B) दो

   (C) अनन्त

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
4. दो वृत्त यदि बाह्य रूप से परस्पर स्पर्श करते हों तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं (Tangents) की संख्या क्या होगी ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024, 2026
   (A) 1

   (B) 2

   (C) 3

   (D) 4
   उत्तर देखें (See answer)
5. किसी वृत्त को दो अलग बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करने वाली रेखा को कहते हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) जीवा (Chord)

   (B) छेदक रेखा

   (C) स्पर्श रेखा (Tangent)

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
6. दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं (Tangents) की संख्या हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 1

   (B) 2

   (C) 3

   (D) अनगिनत
   उत्तर देखें (See answer)
7. दो प्रतिच्छेदी वृतों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं (Common tangents) की संख्या कितनी होती है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) 4

   (B) 2

   (C) 1

   (D) 3
   उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए — (i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ___ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ___ कहते हैं। (iii) एक वृत्त की ___ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। (iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ___ कहते हैं।
   उत्तर देखें (See answer)

   उत्तर (Answer)

   (i) एक बिंदु। (ii) छेदक रेखा (secant)। (iii) केवल दो — एक-दूसरे से सबसे दूर, व्यास के दोनों सिरों पर। (iv) स्पर्श बिंदु (point of contact)।

   प्रयुक्त तथ्य (Fact)

   बाहरी बिंदु से दो, वृत्त के बिंदु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। समांतर स्पर्श रेखाओं की दूरी वृत्त का व्यास है।

2. एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   रेखा l, छेदक AB और स्पर्श रेखा m समांतर हैं। वृत्त का केंद्र O है और स्पर्श बिंदु T है।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए समकोण त्रिभुज में PT = √(OT²−OP²)।

   चरण (Step) 1 — वृत्त और समांतर व्यास बनाएँ

   O केंद्र वाला वृत्त और उससे अलग दी गई रेखा l खींचें। O से l के समांतर रेखा खींचें। यह वृत्त को A और B पर काटती है, इसलिए AB एक छेदक रेखा (Secant) है।

   चरण (Step) 2 — स्पर्श रेखा बनाएँ

   O से AB पर लंब रेखा खींचें, जो वृत्त को T पर मिले। T से OT पर लंब रेखा m खींचें। त्रिज्या OT के लंब होने से m वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) है।

   उत्तर (Answer)

   AB और m दोनों OT के लंब हैं, इसलिए आपस में और दी गई रेखा l के समांतर हैं। AB वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है और m केवल T पर छूती है।