O केंद्र है, T स्पर्श बिंदु और Q बाहरी बिंदु है। त्रिज्या OT, स्पर्शरेखा QT पर लंब है।
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए समकोण त्रिभुज में PT = √(OT²−OP²)।
त्रिज्या² = 25²−24² = 625−576 = 49।
त्रिज्या = 7 cm।
OP और OQ त्रिज्याएँ हैं; TP और TQ स्पर्शखंड हैं। स्पर्श बिंदुओं पर समकोण पहचानें।
यदि PA और PB स्पर्श रेखाएँ हों, तो ∠AOB + ∠APB = 180°; साथ ही OP, ∠AOB को समद्विभाजित करता है।
∠OPT=∠OQT=90° (प्रमेय 10.1)। चारों कोणों का योग 360°।
∠PTQ = 360°−90°−90°−110° = 70°।
AB वृत्त का व्यास है। A पर PQ और B पर RS स्पर्श रेखाएँ हैं।
PQ ∥ RS।
AB व्यास है। A और B पर स्पर्श रेखाएँ क्रमशः PQ और RS हैं। दोनों एक ही व्यास पर लंब हैं।
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा और एक बाहरी बिंदु से खींचे स्पर्श खंड बराबर होते हैं। हर बराबरी के साथ यही कारण लिखें।
त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है। इसलिए PQ ⟂ OA तथा RS ⟂ OB। OA और OB उसी व्यास AB के हिस्से हैं।
एक ही तल में एक ही रेखा पर लंब दो रेखाएँ समांतर होती हैं। अतः PQ ∥ RS।
O केंद्र वाले वृत्त की स्पर्श रेखा l, वृत्त को P पर छूती है।
P से l पर खींचा गया लंब O से होकर जाता है।
P स्पर्श बिंदु है। OP त्रिज्या और LM स्पर्श रेखा है।
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा और एक बाहरी बिंदु से खींचे स्पर्श खंड बराबर होते हैं। हर बराबरी के साथ यही कारण लिखें।
स्पर्श बिंदु की त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब है। इसलिए OP ⟂ l।
किसी रेखा के एक बिंदु पर उसी तल में एक ही लंब रेखा होती है। इसलिए P से खींचा कोई भी लंब OP वाली रेखा ही होगा।
अतः यह लंब केंद्र O से होकर जाता है।
एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है।
वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
O केंद्र है, T स्पर्श बिंदु और A बाहरी बिंदु है। त्रिज्या OT, स्पर्शरेखा AT पर लंब है।
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए समकोण त्रिभुज में PT = √(OT²−OP²)।
त्रिज्या² = 5²−4² = 25−16 = 9।
त्रिज्या = 3 cm।
दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं।
बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
बड़ी त्रिज्या OA = 5, छोटी त्रिज्या OM = 3। AB छोटे वृत्त को M पर छूती है; AM = MB।
केंद्र से जीवा पर खींचा लंब जीवा को आधा करता है। (आधी जीवा)²+(केंद्र से दूरी)²=त्रिज्या²।
केंद्र से जीवा पर डाला लंब छोटे वृत्त की त्रिज्या (3) है, और यह जीवा को समद्विभाजित करता है। आधी जीवा² = 5²−3² = 16।
आधी जीवा = 4, पूरी जीवा = 8 cm।
8 cm
ABCD की भुजाएँ AB, BC, CD, DA वृत्त को क्रमशः P, Q, R, S पर छूती हैं।
AB + CD = BC + DA।
P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के स्पर्श बिंदु हैं। एक ही शीर्ष से निकलने वाले दोनों स्पर्शखंड बराबर हैं।
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा और एक बाहरी बिंदु से खींचे स्पर्श खंड बराबर होते हैं। हर बराबरी के साथ यही कारण लिखें।
A से AP=AS; B से BP=BQ; C से CQ=CR; D से DR=DS। कारण: एक बाहरी बिंदु से स्पर्शखंड बराबर होते हैं।
AB+CD = AP+PB+CR+RD। ऊपर की बराबरियों से यह AS+BQ+CQ+DS बनता है।
AS+SD=AD और BQ+QC=BC। इसलिए AS+BQ+CQ+DS = AD+BC।
अतः AB+CD = AD+BC, सिद्ध हुआ।
O केंद्र वाले वृत्त पर बाहरी बिंदु T से TP और TQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
∠PTQ + ∠POQ = 180°।
OP और OQ जोड़ें। चतुर्भुज OPTQ देखें।
OP और OQ त्रिज्याएँ हैं; TP और TQ स्पर्शखंड हैं। स्पर्श बिंदुओं पर समकोण पहचानें।
यदि PA और PB स्पर्श रेखाएँ हों, तो ∠AOB + ∠APB = 180°; साथ ही OP, ∠AOB को समद्विभाजित करता है।
OP ⟂ TP तथा OQ ⟂ TQ, इसलिए ∠OPT = ∠OQT = 90°।
चतुर्भुज OPTQ के कोणों का योग 360° है। इसलिए ∠PTQ + ∠POQ = 360° − 90° − 90° = 180°।
दोनों कोणों का योग 180° है; अतः वे संपूरक हैं।
XY ∥ X′Y′ दोनों वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। तीसरी स्पर्श रेखा AB उन्हें A और B पर काटती है और वृत्त को C पर छूती है। केंद्र O है।
∠AOB=90°।
XY तथा X′Y′ के स्पर्श बिंदु क्रमशः P और Q कहें। OA, OB, OP, OQ और OC जोड़ें।
XY और X′Y′ समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं; P, Q उनके स्पर्श बिंदु हैं। तीसरी स्पर्श रेखा AB, C पर छूती है।
यदि PA और PB स्पर्श रेखाएँ हों, तो ∠AOB + ∠APB = 180°; साथ ही OP, ∠AOB को समद्विभाजित करता है।
A से AP=AC; OP=OC और OA साझा है। SSS से ΔOPA ≅ ΔOCA, इसलिए OA, ∠PAC का अर्धक है। इसी तरह OB, ∠QBC का अर्धक है।
AB तिर्यक रेखा है और XY ∥ X′Y′। इसलिए एक ओर के अंतः कोण ∠PAC+∠QBC=180°। इनके आधे जोड़ने पर ∠OAB+∠OBA=90°।
ΔAOB में तीनों कोणों का योग 180° है। इसलिए ∠AOB=180°−90°=90°।
अतः ∠AOB समकोण है, सिद्ध हुआ।
अंतःवृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है। BC पर स्पर्श बिंदु D के लिए BD = 8 सेमी और DC = 6 सेमी।
AB और AC की लंबाइयाँ।
CA और AB के स्पर्श बिंदुओं को E और F कहें। केंद्र O से D तक त्रिज्या खींचें। AF = AE = x लें।
D, E और F क्रमशः BC, CA और AB के स्पर्श बिंदु हैं। OD = 4 सेमी, BD = 8 सेमी और DC = 6 सेमी। चित्र मापानुसार नहीं है।
एक ही बाहरी शीर्ष से अंतःवृत्त तक जाने वाले दोनों स्पर्श खंड बराबर होते हैं। बराबर खंडों को चर मानकर भुजाओं की समीकरण बनाएँ।
B से BF = BD = 8 और C से CE = CD = 6। इसलिए AB = x + 8, AC = x + 6, BC = 14।
अर्धपरिमाप s = [(x+8)+(x+6)+14]/2 = x+14। केंद्र O को तीनों शीर्षों से जोड़ने पर तीन त्रिभुजों की ऊँचाई 4 है। कुल क्षेत्रफल = ½ × 4 × परिमाप = 4s = 4(x+14)।
हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल² = s(s−AB)(s−AC)(s−BC) = (x+14) × 6 × 8 × x। इसलिए 16(x+14)² = 48x(x+14)।
x+14 धनात्मक है। दोनों ओर 16(x+14) से भाग दें: x+14 = 3x। इसलिए 2x = 14 और x = 7।
AB = 7+8 = 15 सेमी; AC = 7+6 = 13 सेमी।
s = 21; त्रिज्या से क्षेत्रफल 4×21 = 84 वर्ग सेमी। हीरोन से √(21×6×8×7) = 84 वर्ग सेमी भी मिलता है।