x² + 2hx + h² = (x + h)²। दोनों पक्षों में उचित संख्या जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाते हैं, फिर वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिह्न लेते हैं।
2x²+x+4=0 को 2 से भाग दें: x²+x/2=−2। दोनों पक्षों में (1/4)²=1/16 जोड़ें: (x+1/4)²=−2+1/16=−31/16।
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। यहाँ वर्ग का मान −31/16 चाहिए, जो संभव नहीं। इसलिए समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं।
कोई वास्तविक मूल नहीं
x² + 2hx + h² = (x + h)²। दोनों पक्षों में उचित संख्या जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाते हैं, फिर वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिह्न लेते हैं।
2x²−7x+3=0 को 2 से भाग दें: x²−7x/2=−3/2। x के गुणांक −7/2 का आधा −7/4 है। उसका वर्ग 49/16 दोनों पक्षों में जोड़ें: (x−7/4)²=−24/16+49/16=25/16।
x−7/4=±5/4, इसलिए x=(7+5)/4=3 या x=(7−5)/4=1/2। वर्गमूल लेते समय + और − दोनों लेने हैं।
a=2, b=−7, c=3। x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)=[7±√(49−24)]/4=(7±5)/4। वही मूल 3 और 1/2 मिले।
x = 3, 1/2
x² + 2hx + h² = (x + h)²। दोनों पक्षों में उचित संख्या जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाते हैं, फिर वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिह्न लेते हैं।
2x²+x−4=0 को 2 से भाग दें: x²+x/2=2। x के गुणांक 1/2 का आधा 1/4 है। उसका वर्ग 1/16 दोनों पक्षों में जोड़ें: (x+1/4)²=2+1/16=33/16।
x+1/4=±√33/4, इसलिए x=(−1+√33)/4 या x=(−1−√33)/4।
a=2, b=1, c=−4। विविक्तकर (Discriminant) b²−4ac=1+32=33। सूत्र x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a) से x=(−1±√33)/4 मिलता है।
x = (−1 + √33)/4, (−1 − √33)/4
x² + 2hx + h² = (x + h)²। दोनों पक्षों में उचित संख्या जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाते हैं, फिर वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिह्न लेते हैं।
4x²+4√3x+3=0 को 4 से भाग दें: x²+√3x+3/4=0। यह x²+2×x×(√3/2)+(√3/2)² है, इसलिए (x+√3/2)²=0।
किसी संख्या का वर्ग 0 तभी होता है जब वह संख्या 0 हो। इसलिए x+√3/2=0 ⇒ x=−√3/2। दोनों मूल समान हैं।
a=4, b=4√3, c=3। b²−4ac=48−48=0। इसलिए x=(−4√3±0)/8=−√3/2।
x = −√3/2, −√3/2 (दोहरा मूल)
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
x²−1=3x से x²−3x−1=0।
D=9+4=13। x=(3±√13)/2।
x = (3 + √13)/2, (3 − √13)/2
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
[(x−7)−(x+4)]/[(x+4)(x−7)] = −11/[(x+4)(x−7)] = 11/30।
−30×11 = 11×(x+4)(x−7) से (x+4)(x−7)=−30, यानी x²−3x−28=−30, अर्थात् x²−3x+2=0।
(x−1)(x−2)=0 से x=1 या x=2।
x = 1, 2
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है।
उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
वर्तमान आयु x। 1/(x−3) + 1/(x+5) = 1/3।
3[(x+5)+(x−3)] = (x−3)(x+5) से 3(2x+2) = x²+2x−15, अर्थात् x²−4x−21=0।
(x−7)(x+3)=0 से x=7 (x=−3 अस्वीकृत, आयु−3 ऋणात्मक होगी)।
7 वर्ष
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता।
उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
गणित के अंक m, अंग्रेजी के 30−m। (m+2)(30−m−3)=210, यानी (m+2)(27−m)=210।
−m²+25m+54=210 से m²−25m+156=0।
(m−12)(m−13)=0 से m=12 या 13 — दोनों ही मान्य उत्तर हैं।
गणित=12,अंग्रेजी=18 या गणित=13,अंग्रेजी=17
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो।
खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (पहली भुजा)² + (दूसरी भुजा)²। छोटी भुजा x हो तो बड़ी भुजा सवाल के अनुसार x + अंतर होगी।
छोटी भुजा x, बड़ी x+30, विकर्ण x+60। पाइथागोरस से x²+(x+30)²=(x+60)²।
x²+x²+60x+900=x²+120x+3600 से x²−60x−2700=0।
D=3600+10800=14400, √D=120। x=(60±120)/2 से x=90 (x=−30 अस्वीकृत)। भुजाएँ 90 m, 120 m।
छोटी भुजा = 90 m, बड़ी भुजा = 120 m (विकर्ण 150 m)
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती।
रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
समय = दूरी/चाल। यदि मूल चाल x और बढ़ी हुई चाल x + k हो, तो दोनों समय लिखकर सवाल में दिया समय-अंतर बराबर रखते हैं। x > 0 होना चाहिए।
चाल x km/h। समय अंतर: 360/x − 360/(x+5) = 1।
360(x+5) − 360x = x(x+5) से 1800 = x²+5x, यानी x²+5x−1800=0।
D=25+7200=7225, √D=85। x=(−5±85)/2 से x=40 (x=−45 अस्वीकृत)।
40 km/h
दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को 9 3/8 घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाले नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है।
प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने का समय ज्ञात कीजिए।
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
छोटे नल का समय x घंटे, बड़े का x−10 घंटे। 9 3/8 घंटे = 75/8 घंटे। एक घंटे में मिलकर भरा भाग: 1/x + 1/(x−10) = 8/75।
75[(x−10)+x] = 8x(x−10) से 75(2x−10) = 8x²−80x, अर्थात् 8x²−230x+750=0, यानी 4x²−115x+375=0।
D=115²−4(4)(375)=13225−6000=7225, √D=85। x=(115±85)/8 से x=25 या x=15/4। चूँकि x−10 धनात्मक होना चाहिए, x=25 ही मान्य है। छोटा नल 25 घंटे, बड़ा 25−10=15 घंटे।
छोटा नल 25 घंटे, बड़ा नल 15 घंटे
मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है। एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो।
दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
समय = दूरी/चाल। यदि मूल चाल x और बढ़ी हुई चाल x + k हो, तो दोनों समय लिखकर सवाल में दिया समय-अंतर बराबर रखते हैं। x > 0 होना चाहिए।
सवारी गाड़ी की चाल x km/h, एक्सप्रेस x+11 km/h। समय अंतर: 132/x − 132/(x+11) = 1।
132(x+11) − 132x = x(x+11) से 1452 = x²+11x, यानी x²+11x−1452=0।
D=121+5808=5929, √D=77। x=(−11±77)/2 से x=33 (x=−44 अस्वीकृत)। एक्सप्रेस=44 km/h।
सवारी गाड़ी 33 km/h, एक्सप्रेस 44 km/h
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। उनके परिमापों का अंतर 24 m हो।
दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।
बड़े वर्ग की भुजा a, छोटे की b। परिमाप अंतर 24 से 4(a−b)=24, अर्थात् a−b=6। a²+b²=468।
a=b+6 रखें: (b+6)²+b²=468 से 2b²+12b+36=468, यानी b²+6b−216=0।
D=36+864=900, √D=30। b=(−6±30)/2 से b=12 (b=−18 अस्वीकृत)। a=18।
भुजाएँ 18 m और 12 m