अभ्यास — प्रश्नावली 7.2 (Exercise 7.2)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. बिन्दुओं (2, −2) और (−2, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिन्दु (Midpoint) के निर्देशांक (Coordinates) हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) (2, −2)

   (B) (0, 0)

   (C) (1, 1)

   (D) (4, 4)
   उत्तर देखें (See answer)
2. किसी त्रिभुज के शीर्षों के नियामक (1, 3), (5, 7) और (9, 2) हों, तो उसके केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक (Coordinates) हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) (5, 4)

   (B) (4, 5)

   (C) (15, 12)

   (D) (0, 0)
   उत्तर देखें (See answer)
3. बिन्दुओं ( 4, −4 ) और ( −4, 4 ) को मिलानेवाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु (Midpoint) के निर्देशांक (Coordinates) हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) ( 4, 4 )

   (B) ( 0, 0 )

   (C) ( 0, −4 )

   (D) ( −4, 0 )
   उत्तर देखें (See answer)
4. रेखाखण्ड AB के मध्य बिन्दु (Midpoint) ( 2, 4 ) है और बिन्दु A के नियामक ( 5, 7 ) हैं तो बिन्दु B के नियामक हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) ( 2, −2 )

   (B) ( 1, −1 )

   (C) ( −2, −2 )

   (D) ( −1, 1 )
   उत्तर देखें (See answer)
5. किसी वृत्त के व्यास (Diameter) के सिरों के निर्देशांक (Coordinates) ( 10, −6 ) तथा ( −6, 10 ) हैं तो वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) ( −2, −2 )

   (B) ( 2, 2 )

   (C) ( −2, 2 )

   (D) ( 2, −2 )
   उत्तर देखें (See answer)
6. यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (Coordinates) ( 4, 6 ), ( 0, 4 ) और ( 5, 5 ) हों तो त्रिभुज के केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) ( 5, 3 )

   (B) ( 3, 4 )

   (C) ( 4, 4 )

   (D) ( 3, 5 )
   उत्तर देखें (See answer)
7. यदि P(a/2, 4), बिन्दुओं A(-6, 5) एवं B(-2, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिन्दु (Midpoint) है, तो a का मान होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) -8

   (B) 3

   (C) -4

   (D) 4
   उत्तर देखें (See answer)
8. यदि △ABC के शीर्षों के निर्देशांक (Coordinates) A(-1,0), B(5,-2) एवं C(8,2) हों तो उसके केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक होंगेबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) (12,0)

   (B) (6,0)

   (C) (0,6)

   (D) (4,0)
   उत्तर देखें (See answer)
9. किसी वृत के व्यास (Diameter) के सिरों के निर्देशांक (Coordinates) (-10, 6) तथा (6, -10) हैं तो वृत के केन्द्र के निर्देशांक होंगेबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) (-8, -8)

   (B) (-8, 4)

   (C) (-2, -2)

   (D) (2, 4)
   उत्तर देखें (See answer)
10. यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (Coordinates) (2, 4), (0, 6) तथा (4, -1) हों, तो त्रिभुज के केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक होंगेबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) (2, 3)

    (B) (3, 2)

    (C) (3, 3)

    (D) (2, 2)
    उत्तर देखें (See answer)
11. बिन्दुओं (-2, 8) एवं (-6, -4) को मिलानेवाली रेखाखंड का मध्य बिन्दु (Midpoint) किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) प्रथम

    (B) द्वितीय

    (C) तृतीय

    (D) चतुर्थ
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (−1,7) और (4,−3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
2. बिंदुओं (4,−1) और (−2,−3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

   चरण (Step) 1 — पहला त्रिभाजक बिंदु (1:2)

   x=[1(−2)+2(4)]/3=2, y=[1(−3)+2(−1)]/3=−5/3।

   चरण (Step) 2 — दूसरा त्रिभाजक बिंदु (2:1)

   x=[2(−2)+1(4)]/3=0, y=[2(−3)+1(−1)]/3=−7/3।

   उत्तर (Answer)

   (2, −5/3) और (0, −7/3)

3. बिंदुओं (−3,10) और (6,−8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (−1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
4. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,−5) और B(−4,5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

   चरण (Step) 1 — y-निर्देशांक शून्य रखें

   मान लें अनुपात k:1 है। (5k−5)/(k+1) = 0 से k=1।

   चरण (Step) 2 — बिंदु निकालें

   अनुपात 1:1 है। x = (1×(−4)+1×1)/2 = −3/2। बिंदु (−3/2, 0)।

   उत्तर (Answer)

   1 : 1; विभाजन बिंदु (−3/2, 0)

5. यदि बिंदु (1,2), (4,y), (x,6) और (3,5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

   चरण (Step) 1 — विकर्णों का मध्य-बिंदु बराबर रखें

   समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं — विकर्ण (1,2)-(x,6) और (4,y)-(3,5) का मध्य-बिंदु बराबर होगा।

   चरण (Step) 2 — हल करें

   (1+x)/2=(4+3)/2 से x=6। (2+6)/2=(y+5)/2 से y=3।

   उत्तर (Answer)

   x = 6, y = 3

6. बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,−3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

   चरण (Step) 1 — केंद्र = मध्य-बिंदु

   केंद्र AB का मध्य-बिंदु है: (2,−3) = ((Ax+1)/2, (Ay+4)/2)।

   चरण (Step) 2 — हल करें

   Ax = 2(2)−1 = 3। Ay = 2(−3)−4 = −10। A(3,−10)।

   उत्तर (Answer)

   (3, −10)

7. यदि A और B क्रमशः (−2,−2) और (2,−4) हों तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   m:n में आंतरिक विभाजन बिंदु = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))। अनुपात का क्रम बिंदुओं के क्रम से मिलाएँ।

   चरण (Step) 1 — P का सूत्र लगाएँ

   AP=3/7 AB का अर्थ है P, AB को 3:4 के अनुपात में बाँटता है।

   चरण (Step) 2 — निर्देशांक निकालें

   x = −2 + (3/7)(2−(−2)) = −2/7। y = −2 + (3/7)(−4−(−2)) = −20/7।

   उत्तर (Answer)

   (−2/7, −20/7)

8. बिंदुओं A(−2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

   चरण (Step) 1 — चौथाई-चौथाई बढ़ाएँ

   AB के चौथे भाग x में 1 और y में 1.5 बढ़ता है (कुल अंतर x:4, y:6 को 4 भागों में)।

   चरण (Step) 2 — तीनों बिंदु निकालें

   (−1, 3.5), (0, 5), (1, 6.5) — ये तीनों AB को चार बराबर भागों में बाँटते हैं।

   उत्तर (Answer)

   (−1, 3.5), (0, 5), (1, 6.5)

9. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3,0), (4,5), (−1,4) और (−2,−1) हैं।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   चतुर्भुज के शीर्ष क्रम में लेकर क्षेत्रफल = 1/2 |Σ(xᵢyᵢ₊₁−xᵢ₊₁yᵢ)|।

   चरण (Step) 1 — विकर्ण निकालें

   विकर्ण (3,0)-(−1,4) की लंबाई = 4√2। विकर्ण (4,5)-(−2,−1) की लंबाई = 6√2।

   चरण (Step) 2 — क्षेत्रफल सूत्र लगाएँ

   समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × विकर्णों का गुणनफल = ½ × 4√2 × 6√2 = 24 वर्ग मात्रक।

   उत्तर (Answer)

   24 वर्ग मात्रक

10. बिन्दु P के निर्देशांक (Coordinates) ज्ञात करें जो बिन्दुएँ A(−6, 10) और B(3, −8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 7 के अनुपात (Ratio) में अंतःविभाजित (Divide internally) करते हैं।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. आपके स्कूल में एक आयताकार मैदान ABCD में, AD के अनुदिश 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर दौड़कर हरा झंडा गाड़ती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर दौड़कर लाल झंडा गाड़ती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रशिम को नीला झंडा ठीक आधी दूरी पर गाड़ना हो, तो कहाँ गाड़े?
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   आपके स्कूल में एक आयताकार मैदान ABCD में, AD के अनुदिश 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर दौड़कर हरा झंडा गाड़ती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर दौड़कर लाल झंडा गाड़ती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? रशिम को नीला झंडा ठीक आधी दूरी पर गाड़ना हो।

   ज्ञात करना है (Find)

   कहाँ गाड़े?

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

   चरण (Step) 1 — झंडों के निर्देशांक

   हरा झंडा दूसरी पंक्ति (x=2) में AD का 1/4=25वें गमले पर: (2,25)। लाल झंडा आठवीं पंक्ति (x=8) में AD का 1/5=20वें गमले पर: (8,20)।

   चरण (Step) 2 — दूरी निकालें

   √[(8−2)²+(20−25)²] = √[36+25] = √61।

   चरण (Step) 3 — मध्य-बिंदु निकालें

   नीला झंडा = ((2+8)/2, (25+20)/2) = (5, 22.5)।

   उत्तर (Answer)

   दूरी = √61; नीला झंडा (5, 22.5) पर