अभ्यास — प्रश्नावली 8.1 (Exercise 8.1)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. यदि sin θ = 45/53 तो cos θ =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 53/28

   (B) 28/53

   (C) 28/45

   (D) 45/28
   उत्तर देखें (See answer)
2. cos θ का मान sin θ के रूप में हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) √(1 − sin²θ)

   (B) √(1 + sin²θ)

   (C) √(sin²θ − 1)

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
3. यदि cosθ = 4/5 हो, तो tanθ =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 3/4

   (B) 4/3

   (C) 3/5

   (D) 5/3
   उत्तर देखें (See answer)
4. यदि cosθ = 1/2, θ<90° तो sin²θ − 1 =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 1/4

   (B) 1/2

   (C) −1/4

   (D) √3/4
   उत्तर देखें (See answer)
5. यदि tanθ = 12/5 हो तो sinθ का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 5/12

   (B) 12/13

   (C) 5/13

   (D) 12/5
   उत्तर देखें (See answer)
6. यदि cosθ = x तो tanθ =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) √(1+x²)/x

   (B) √(1−x²)/x

   (C) √(1−x²)

   (D) x/√(1−x²)
   उत्तर देखें (See answer)
7. यदि tanθ=3/4 तो sinθ=बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 4/5

   (B) 2/3

   (C) 4/3

   (D) 3/5
   उत्तर देखें (See answer)
8. यदि sin 48° = p, तो tan 48° का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) p/√(1-p²)

   (B) √(1-p²)/p

   (C) p/√(1+p²)

   (D) √(1+p²)/p
   उत्तर देखें (See answer)
9. यदि tanθ = 15/8, तो sinθ का मान होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) 8/17

   (B) 8/15

   (C) 15/17

   (D) 17/8
   उत्तर देखें (See answer)
10. यदि sinθ = √3/2, तो cosecθ + cotθ का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 2 + √3

    (B) 2√3

    (C) √2

    (D) √3
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB=24 cm और BC=7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए — (i) sin A, cos A (ii) sin C, cos C
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   B पर समकोण है। AC कर्ण है; किस कोण से देख रहे हैं, उसके अनुसार सामने और सटी हुई भुजा पहचानें। चित्र मापानुसार नहीं है।

   प्रयुक्त मान (Standard values)

   0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।

   चरण (Step) 1 — कर्ण निकालें

   पाइथागोरस प्रमेय से AC²=AB²+BC²=24²+7²=576+49=625। इसलिए AC=25 cm।

   चरण (Step) 2 — कोण A के अनुपात

   sin = सामने की भुजा/कर्ण और cos = सटी हुई भुजा/कर्ण। इसलिए sin A=BC/AC=7/25 और cos A=AB/AC=24/25।

   चरण (Step) 3 — कोण C के अनुपात

   अब C से देखें: सामने AB और सटी हुई भुजा BC है। इसलिए sin C=AB/AC=24/25 और cos C=BC/AC=7/25।

   उत्तर (Answer)

   sinA=7/25, cosA=24/25; sinC=24/25, cosC=7/25

2. आकृति में, जिसमें ΔPQR का कोण Q समकोण है, PQ=12 cm, PR=13 cm (कर्ण) हैं। tan P − cot R का मान ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   Q पर समकोण है और PR कर्ण है। P तथा R से देखकर अनुपात बनाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

   प्रयुक्त मान (Standard values)

   0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।

   चरण (Step) 1 — तीसरी भुजा निकालें

   Q पर समकोण है, इसलिए PR कर्ण है। QR²=PR²−PQ²=13²−12²=169−144=25। अतः QR=5 cm।

   चरण (Step) 2 — दोनों कोणों से भुजाएँ पहचानें

   tan = सामने की भुजा/सटी हुई भुजा। P के लिए tan P=QR/PQ=5/12। cot इसका उलटा अनुपात है: सटी हुई भुजा/सामने की भुजा। R के लिए cot R=QR/PQ=5/12।

   चरण (Step) 3 — घटाएँ

   tan P−cot R=5/12−5/12=0।

   उत्तर (Answer)

   0

3. यदि sin A = 3/4, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त अनुपात (Ratio)

   समकोण त्रिभुज में sinθ = सम्मुख/कर्ण, cosθ = संलग्न/कर्ण और tanθ = सम्मुख/संलग्न। दिए अनुपात से भुजाएँ मानकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।

   चरण (Step) 1 — पाइथागोरस पहचान लगाएँ

   cos²A = 1 − sin²A = 1 − 9/16 = 7/16, cosA = √7/4।

   चरण (Step) 2 — tanA निकालें

   tanA = sinA/cosA = (3/4)/(√7/4) = 3/√7 = 3√7/7।

   उत्तर (Answer)

   cosA = √7/4, tanA = 3√7/7

4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त मान (Standard values)

   0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।

   चरण (Step) 1 — भुजाएँ मान लें

   cotA = 8/15 से संलग्न=8k, सम्मुख=15k।

   चरण (Step) 2 — कर्ण निकालें

   कर्ण = √(8²+15²)k = 17k।

   उत्तर (Answer)

   sinA = 15k/17k = 15/17। secA = 17k/8k = 17/8।

5. यदि sec θ = 13/12, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त अनुपात (Ratio)

   समकोण त्रिभुज में sinθ = सम्मुख/कर्ण, cosθ = संलग्न/कर्ण और tanθ = सम्मुख/संलग्न। दिए अनुपात से भुजाएँ मानकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।

   चरण (Step) 1 — cosθ निकालें

   cosθ = 1/secθ = 12/13।

   चरण (Step) 2 — sinθ निकालें

   sinθ = √(1−cos²θ) = √(1−144/169) = 5/13।

   चरण (Step) 3 — शेष अनुपात

   tanθ=5/12, cosecθ=13/5, cotθ=12/5।

   उत्तर (Answer)

   sinθ=5/13, cosθ=12/13, tanθ=5/12, cosecθ=13/5, cotθ=12/5

6. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B है।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   A और B न्यून कोण (Acute angles) हैं तथा cos A=cos B।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   P और R पर समकोण हैं। दोनों कर्ण 1 इकाई लिए हैं; पहले AP और BR की तुलना करें, फिर PQ और RS की।

   प्रयुक्त अनुपात (Ratio)

   समकोण त्रिभुज में sinθ = सम्मुख/कर्ण, cosθ = संलग्न/कर्ण और tanθ = सम्मुख/संलग्न। दिए अनुपात से भुजाएँ मानकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।

   चरण (Step) 1 — समकोण त्रिभुज बनाएँ

   इन कोणों वाले दो समकोण त्रिभुज ΔAPQ और ΔBRS लें, जिनमें P तथा R पर समकोण हों। दोनों को ऐसा चुनें कि कर्ण AQ=BS=1 इकाई हो। त्रिभुज छोटा-बड़ा करने से उसके कोण नहीं बदलते।

   चरण (Step) 2 — सटी हुई भुजाएँ बराबर दिखाएँ

   cos A=AP/AQ=AP/1 और cos B=BR/BS=BR/1। दिया है cos A=cos B, इसलिए AP=BR।

   चरण (Step) 3 — तीसरी भुजा भी बराबर दिखाएँ

   पाइथागोरस से PQ²=1−AP² और RS²=1−BR²। AP=BR होने से PQ²=RS²। लंबाइयाँ धनात्मक होती हैं, इसलिए PQ=RS।

   निष्कर्ष (Conclusion)

   AQ=BS, AP=BR और PQ=RS: तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं। SSS नियम से त्रिभुज सर्वांगसम (Congruent) हैं। इसलिए उनके संगत कोण ∠A=∠B।

7. यदि cot θ = 7/8, तो (i) (1+sinθ)(1−sinθ)/[(1+cosθ)(1−cosθ)] (ii) cot²θ का मान निकालिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त तरीका (Method)

   दिए अनुपात से त्रिभुज की भुजाएँ मानें, पाइथागोरस से तीसरी भुजा पाएँ और फिर माँगे सभी अनुपात निकालकर व्यंजक सरल करें।

   चरण (Step) 1 — व्यंजक सरल करें

   (1+sinθ)(1−sinθ) = 1−sin²θ = cos²θ। (1+cosθ)(1−cosθ) = 1−cos²θ = sin²θ।

   उत्तर (Answer)

   अतः व्यंजक (i) = cos²θ/sin²θ = cot²θ = (7/8)² = 49/64 — दोनों भाग बराबर हैं।

8. यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि (1−tan²A)/(1+tan²A) = cos²A − sin²A है या नहीं।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त अनुपात (Ratio)

   समकोण त्रिभुज में sinθ = सम्मुख/कर्ण, cosθ = संलग्न/कर्ण और tanθ = सम्मुख/संलग्न। दिए अनुपात से भुजाएँ मानकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।

   चरण (Step) 1 — tanA और भुजाएँ निकालें

   cotA=4/3 से tanA=3/4। भुजाएँ 3k,4k,5k (कर्ण)।

   चरण (Step) 2 — दोनों पक्ष निकालें

   बायाँ पक्ष = (1−9/16)/(1+9/16) = 7/25। दायाँ पक्ष: cosA=4/5,sinA=3/5 से cos²A−sin²A = 16/25−9/25 = 7/25।

   उत्तर (Answer)

   दोनों पक्ष बराबर हैं — हाँ।

9. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए — (i) sinA cosC + cosA sinC (ii) cosA cosC − sinA sinC
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त पहचान (Identity)

   यदि a cosθ+b sinθ=m और a sinθ−b cosθ=n, तो दोनों का वर्ग जोड़ने पर a²+b²=m²+n²।

   चरण (Step) 1 — कोण पहचानें

   tan A=1/√3 से A=30°। त्रिभुज में A+B+C=180° और B=90°, इसलिए C=60°।

   चरण (Step) 2 — (i) मान रखकर जोड़ें

   sin30°=1/2, cos60°=1/2, cos30°=√3/2, sin60°=√3/2। इसलिए sin A cos C+cos A sin C = (1/2)(1/2)+(√3/2)(√3/2)=1/4+3/4=1।

   चरण (Step) 3 — (ii) मान रखकर घटाएँ

   cos A cos C−sin A sin C=(√3/2)(1/2)−(1/2)(√3/2)=√3/4−√3/4=0।

   उत्तर (Answer)

   (i) 1 (ii) 0

10. ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR+QR=25 cm और PQ=5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR+QR=25 cm और PQ=5 cm है।

    ज्ञात करना है (Find)

    sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

    प्रयुक्त मान (Standard values)

    0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।

    चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

    QR=x मान लें, PR=25−x। PQ²+QR²=PR² से 25+x²=(25−x)²।

    चरण (Step) 2 — x निकालें

    25+x² = 625−50x+x² से 50x=600, x=12। QR=12, PR=13।

    चरण (Step) 3 — अनुपात निकालें

    sinP = QR/PR = 12/13। cosP = PQ/PR = 5/13। tanP = QR/PQ = 12/5।

    उत्तर (Answer)

    sinP=12/13, cosP=5/13, tanP=12/5

11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य — (i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है (ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5 (iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है (iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है (v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 4/3
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त मान (Standard values)

    0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।

    चरण (Step) 1 — (i) और (ii)

    tan60°=√3>1, इसलिए (i) असत्य। secA≥1 होना चाहिए और 12/5=2.4≥1, इसलिए (ii) सत्य।

    चरण (Step) 2 — (iii) और (iv)

    cos, cosine का संक्षिप्त रूप है, cosecant का नहीं — (iii) असत्य। cot A एक ही प्रतीक है, cot×A नहीं — (iv) असत्य।

    चरण (Step) 3 — (v)

    sinθ का मान सदैव −1 और 1 के बीच होता है, 4/3>1 असंभव है — (v) असत्य।

    उत्तर (Answer)

    (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) असत्य (v) असत्य

12. sin θ तथा cos θ को tan θ के रूप में व्यक्त करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
13. यदि 4tanθ = 3 तो sinθ cosθ का मान ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
14. यदि 5tanθ = 4 तो (5sinθ − 3cosθ)/(sinθ + 2cosθ) का मान ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
15. ΔPQR में, ∠Q = 90°, PQ = 3 सेमी, PR = 6 सेमी हैं तो ∠QPR तथा ∠PRQ ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
16. यदि tanθ = 5/12 हो तो sinθ + cosθ का मान ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
17. यदि cosA = 4/5 हो तो cotA और cosecA के मान ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)