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अभ्यास — प्रश्नावली 12.2 (Exercise 12.2)

6 वस्तुनिष्ठ · 9 लघु · 3 दीर्घ

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

  1. त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है:
    (A) p/180 × 2πR
    (B) p/180 × πR²
    (C) p/360 × 2πR
    (D) p/720 × 2πR²
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)πr²।

    चरण (Step) 1 — मानक सूत्र से तुलना करें

    त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (p/360)×πR²।

    चरण (Step) 2 — विकल्पों से मिलाएँ

    (p/360)×πR² = (p/720)×2πR² — यह विकल्प (D) से मेल खाता है।

    उत्तर (Answer)

    p/720 × 2πR²

  2. एक त्रिज्यखण्ड (Sector) के केन्द्रीय कोण (Central angle) का मान 60° है तथा त्रिज्या (Radius) 21 सेमी हो तो चाप (Arc) की लम्बाई हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 11 सेमी
    (B) 21 सेमी
    (C) 22 सेमी
    (D) 44 सेमी
    उत्तर देखें (See answer)
  3. 14 सेमी त्रिज्या (Radius) वाले वृत्त के त्रिज्यखण्ड (Sector) की परिमिति (Perimeter) 50 सेमी है तो त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण (Central angle) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 36°
    (B) 45°
    (C) 72°
    (D) 90°
    उत्तर देखें (See answer)
  4. 42 सेमी त्रिज्या (Radius) वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड (Sector) जिसका केन्द्रीय कोण (Central angle) 30° है, का क्षेत्रफल (Area) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 515 सेमी²
    (B) 416 सेमी²
    (C) 462 सेमी²
    (D) 406 सेमी²
    उत्तर देखें (See answer)
  5. यदि केन्द्र O और त्रिज्या (Radius) r वाले वृत में ∠AOB = θ, तो चाप (Arc) AB की लंबाई बराबर हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) πr²θ/180
    (B) πrθ/360
    (C) πrθ/180
    (D) πr²θ/360
    उत्तर देखें (See answer)
  6. यदि 7 सेमी त्रिज्या (Radius) वाले वृत के लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area) 14 वर्ग सेमी हो, तो दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 140 वर्ग सेमी
    (B) 150 वर्ग सेमी
    (C) 125 वर्ग सेमी
    (D) 200 वर्ग सेमी
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

  1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
    उत्तर देखें (See answer)

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    60° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 60/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग60°r
    60° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 60/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)πr²।

    चरण (Step) 1 — सूत्र लगाएँ

    क्षेत्रफल = (60/360)×22/7×6² = (1/6)×22/7×36 = 132/7 cm²।

    उत्तर (Answer)

    132/7 cm² ≈ 18.86 cm²

  2. एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।
    उत्तर देखें (See answer)

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    90° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 90/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग90°r
    90° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 90/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।

    चरण (Step) 1 — त्रिज्या निकालें

    2πr = 22 से r = 22×7/(2×22) = 3.5 cm।

    चरण (Step) 2 — चतुर्थांश क्षेत्रफल

    (1/4)×22/7×3.5² = 77/8 cm² = 9.625 cm²।

    उत्तर (Answer)

    77/8 cm² = 9.625 cm²

  3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है।

    ज्ञात करना है (Find)

    इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    30° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 30/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग30°r
    30° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 30/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    मिनट की सूई m मिनट में 6m° घूमती है। बने क्षेत्र का क्षेत्रफल = (6m/360)πr²।

    चरण (Step) 1 — कोण निकालें

    मिनट की सुई हर मिनट 6° घूमती है, 5 मिनट में 30°।

    चरण (Step) 2 — क्षेत्रफल

    (30/360)×22/7×14² = 154/3 cm²।

    उत्तर (Answer)

    154/3 cm² ≈ 51.33 cm²

  4. 10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड तथा दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=3.14 का प्रयोग कीजिए)
    उत्तर देखें (See answer)

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    लघु वृत्तखंड के लिए 90° के त्रिज्यखंड से दो त्रिज्याओं वाला समकोण त्रिभुज घटाएँ। दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण 270° है।

    जीवा और छोटे चाप के बीच वृत्तखंड: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल।O
    लघु वृत्तखंड के लिए 90° के त्रिज्यखंड से दो त्रिज्याओं वाला समकोण त्रिभुज घटाएँ। दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण 270° है।

    प्रयुक्त तरीका (Method)

    वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल। दीर्घ वृत्तखंड = पूरे वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड।

    चरण (Step) 1 — लघु त्रिज्यखंड और त्रिभुज

    लघु त्रिज्यखंड = (90/360)×3.14×100 = 78.5। त्रिभुज = (1/2)×10×10 = 50।

    चरण (Step) 2 — लघु वृत्तखंड

    78.5−50 = 28.5 cm²।

    चरण (Step) 3 — दीर्घ त्रिज्यखंड

    पूरा वृत्त − लघु त्रिज्यखंड = 314−78.5 = 235.5 cm²।

    उत्तर (Answer)

    लघु वृत्तखंड = 28.5 cm², दीर्घ त्रिज्यखंड = 235.5 cm²

  5. किसी कार के दो वाइपर हैं, जो परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    किसी कार के दो वाइपर हैं, जो परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है।

    ज्ञात करना है (Find)

    पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    115° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 115/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग115°r
    115° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 115/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।

    चरण (Step) 1 — एक वाइपर का त्रिज्यखंड

    (115/360)×22/7×25² ≈ 627.48 cm²।

    चरण (Step) 2 — दोनों वाइपर

    2×627.48 ≈ 1254.96 cm²।

    उत्तर (Answer)

    158125/126 cm² ≈ 1254.96 cm²

  6. जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π=3.14 का प्रयोग कीजिए)
    उत्तर देखें (See answer)

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    80° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 80/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग80°r
    80° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 80/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।

    चरण (Step) 1 — सूत्र लगाएँ

    (80/360)×3.14×16.5² = (2/9)×3.14×272.25।

    उत्तर (Answer)

    ≈ 189.97 km²।

  7. यदि वृत्त की त्रिज्या (Radius) 21 सेमी तथा त्रिज्यखण्ड (Sector) का केन्द्रीय कोण (Central angle) 120° है तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
  8. एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 7 सेमी है। 40 मिनट में इसके द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
  9. एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 15 सेमी है। 20 मिनट में इसके द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

  1. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए — (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है।

    ज्ञात करना है (Find)

    ज्ञात कीजिए — (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल।

    चित्र को समझें (Read the diagram)

    60° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 60/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग60°r
    60° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का 60/360 भाग है। प्रश्न में कई बराबर भाग हों तो अंत में उनकी संख्या से गुणा करें।

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)πr²।

    चरण (Step) 1 — चाप की लंबाई

    (60/360)×2×22/7×21 = 22 cm।

    चरण (Step) 2 — त्रिज्यखंड क्षेत्रफल

    (60/360)×22/7×21² = 231 cm²।

    चरण (Step) 3 — वृत्तखंड क्षेत्रफल

    60° होने से त्रिभुज समबाहु है, भुजा 21। त्रिभुज क्षेत्रफल = (√3/4)×21². वृत्तखंड = 231 − (441√3)/4 ≈ 40 cm²।

    उत्तर (Answer)

    चाप=22 cm, त्रिज्यखंड=231 cm², वृत्तखंड = 231−(441√3)/4 ≈ 40 cm²

  2. एक पार्क के एक कोने पर 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान में लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए — (i) उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है (ii) रस्सी 10 m लंबी होने पर चरे जाने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि। (π=3.14 का प्रयोग कीजिए)बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
  3. 6 सेमी त्रिज्या (Radius) वाली एक वृत्ताकार चकती को तीन त्रिज्यखंडों (Sectors) में विभक्त किया गया है जिनके केन्द्रीय कोण (Central angle) 90°, 120° तथा 150° हैं तो 150° केन्द्रीय कोण वाला त्रिज्यखंड (Sector), सम्पूर्ण चकती का कौन-सा भाग है? तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों (Areas) को भी निकालें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
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