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अभ्यास — प्रश्नावली 4.1 (Exercise 4.1)

12 वस्तुनिष्ठ · 1 लघु · 4 दीर्घ

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

  1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है — (x+1)² = 2(x−3)
    (A) हाँ, द्विघात समीकरण है
    (B) नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त परिभाषा (Definition)

    सरल करने के बाद समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में हो और a ≠ 0 हो, तभी वह द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है।

    चरण (Step) 1 — सरल करें

    (x+1)²−2(x−3) = x²+2x+1−2x+6 = x²+7।

    उत्तर (Answer)

    x² के पद के साथ घात 2 का समीकरण बना — यह द्विघात समीकरण है।

  2. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है — (x−2)(x+1) = (x−1)(x+3)
    (A) हाँ, द्विघात समीकरण है
    (B) नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त परिभाषा (Definition)

    सरल करने के बाद समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में हो और a ≠ 0 हो, तभी वह द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है।

    चरण (Step) 1 — सरल करें

    दोनों पक्षों में x² कट जाता है: (x²−x−2) − (x²+2x−3) = −3x+1।

    उत्तर (Answer)

    घात 1 का समीकरण बना, x² बचा ही नहीं — यह द्विघात समीकरण नहीं है।

  3. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है — (x−3)(2x+1) = x(x+5)
    (A) हाँ, द्विघात समीकरण है
    (B) नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त परिभाषा (Definition)

    सरल करने के बाद समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में हो और a ≠ 0 हो, तभी वह द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है।

    चरण (Step) 1 — सरल करें

    (2x²−5x−3) − (x²+5x) = x²−10x−3।

    उत्तर (Answer)

    x² का पद बचा — यह द्विघात समीकरण है।

  4. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है — x² + 3x + 1 = (x−2)²
    (A) हाँ, द्विघात समीकरण है
    (B) नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त परिभाषा (Definition)

    सरल करने के बाद समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में हो और a ≠ 0 हो, तभी वह द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है।

    चरण (Step) 1 — सरल करें

    (x²+3x+1) − (x²−4x+4) = 7x−3।

    उत्तर (Answer)

    x² के पद कट गए — यह द्विघात समीकरण नहीं है।

  5. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है — x³ − 4x² − x + 1 = (x−2)³
    (A) हाँ, द्विघात समीकरण है
    (B) नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त परिभाषा (Definition)

    सरल करने के बाद समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में हो और a ≠ 0 हो, तभी वह द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है।

    चरण (Step) 1 — दोनों पक्ष खोलें

    (x−2)³ = x³−6x²+12x−8। दिया पक्ष x³−4x²−x+1 है।

    चरण (Step) 2 — सरल करें और उत्तर

    घटाने पर x³ के पद कट जाते हैं: (−4x²−x+1)−(−6x²+12x−8) = 2x²−13x+9। घात 2 बची — यह द्विघात समीकरण है, भले ही शुरू में त्रिघात लगता हो।

    उत्तर (Answer)

    हाँ, द्विघात समीकरण है — 2x² − 13x + 9 = 0

  6. चर x में ax² + bx + c = 0 एक द्विघात समीकरण (Quadratic equation) कहलाता है जहाँ a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ हैं तोबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) a ≠ 0
    (B) b ≠ 0
    (C) c ≠ 0
    (D) a = 0
    उत्तर देखें (See answer)
  7. निम्नलिखित में कौन द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) (x+3)² = x²+7x
    (B) (x+2)² = 2x+2
    (C) (√x+2)² = x+2
    (D) (2x+7)² = 4x²+5
    उत्तर देखें (See answer)
  8. निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) ( x+3 )( x−3 ) = x²−4x³
    (B) ( x+3 )² = 4( x+4 )
    (C) ( 2x−2 )² = 4x²+7
    (D) 4x + 1/(4x) = 4x
    उत्तर देखें (See answer)
  9. निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण (Quadratic equation) नहीं है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 5x − x² = x²+3
    (B) x³ − x² = (x−1)³
    (C) (x+3)² = 3(x²−5)
    (D) (√2x+3)² = 2x²+5
    उत्तर देखें (See answer)
  10. निम्नलिखित में कौन द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) x²-3√x+2=0
    (B) x+1/x=x²
    (C) x²+1/x²=5
    (D) 2x²-5x=(x-1)²
    उत्तर देखें (See answer)
  11. निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण (Quadratic equation) है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) (x + 2) (x - 2) = x² - 4x³
    (B) (x + 2)² = 3(x + 4)
    (C) (2x² + 3) = (5 + x) (2x²- 3)
    (D) 2x + 1/(2x) = 4x²
    उत्तर देखें (See answer)
  12. यदि द्विघात समीकरण (Quadratic equation) के मूल -5 एवं -1 हैं, तो द्विघात समीकरण होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) x² + 6x + 5 = 0
    (B) x² - 6x + 5 = 0
    (C) x² - 6x - 5 = 0
    (D) x² + 6x - 5 = 0
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

  1. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। इस कथन के लिए समीकरण लिखें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

  1. एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। इस स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

    चौड़ाई x मानकर सवाल से लंबाई लिखें। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई और वर्ग बनने पर नई लंबाई = नई चौड़ाई रखें। ऋणात्मक लंबाई अस्वीकार करें।

    चरण (Step) 1 — चर चुनें

    चौड़ाई x m, लंबाई 2x+1 m।

    चरण (Step) 2 — समीकरण बनाएँ

    क्षेत्रफल = x(2x+1) = 528, यानी 2x² + x − 528 = 0।

    उत्तर (Answer)

    2x² + x − 528 = 0 (जहाँ x = चौड़ाई)

  2. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। इस स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

    छोटी धनात्मक पूर्ण संख्या x मानें, तो अगली क्रमागत संख्या x + 1 होगी। गुणनफल की शर्त से x(x + 1) = दी हुई संख्या बनता है। अंत में केवल धनात्मक पूर्णांक स्वीकार करें।

    चरण (Step) 1 — चर चुनें

    छोटा पूर्णांक x, अगला x+1।

    चरण (Step) 2 — समीकरण बनाएँ

    x(x+1) = 306, यानी x² + x − 306 = 0।

    उत्तर (Answer)

    x² + x − 306 = 0

  3. रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। इस स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

    पहले अज्ञात राशि और उसकी सीमा तय करें। कथन को समीकरण में बदलें, मिले दोनों मूल मूल कथन में जाँचें और शून्य हर, ऋणात्मक लंबाई या अन्य अमान्य मूल को कारण सहित हटाएँ।

    चरण (Step) 1 — चर चुनें

    रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष, माँ की x+26 वर्ष।

    चरण (Step) 2 — समीकरण बनाएँ

    तीन वर्ष बाद (x+3)(x+29) = 360। खोलने पर x² + 32x + 87 = 360, यानी x² + 32x − 273 = 0।

    उत्तर (Answer)

    x² + 32x − 273 = 0 (जहाँ x = रोहन की वर्तमान आयु)

  4. एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। इस स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    समय = दूरी/चाल। यदि मूल चाल x और बढ़ी हुई चाल x + k हो, तो दोनों समय लिखकर सवाल में दिया समय-अंतर बराबर रखते हैं। x > 0 होना चाहिए।

    चरण (Step) 1 — चर चुनें

    रेलगाड़ी की चाल x km/h।

    चरण (Step) 2 — समय की तुलना करें

    480/(x−8) − 480/x = 3।

    चरण (Step) 3 — सरल करें

    दोनों ओर x(x−8) से गुणा करने पर 480x − 480(x−8) = 3x(x−8), यानी 3840 = 3x²−24x, अर्थात् x² − 8x − 1280 = 0।

    उत्तर (Answer)

    x² − 8x − 1280 = 0 (जहाँ x = रेलगाड़ी की चाल km/h में)

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