हर प्रायिकता के लिए 0≤P(E)≤1। इस सीमा से बाहर कोई मान वैध प्रायिकता नहीं है।
किसी भी घटना के लिए 0 ≤ P(E) ≤ 1 होना चाहिए।
−1.5 ऋणात्मक है, इसलिए यह प्रायिकता नहीं हो सकती।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
P(E नहीं) = 1 − P(E) = 1 − 0.05।
P(E नहीं) = 0.95।
थैले से एक गेंद चुनने पर P(रंग)=उस रंग की गेंदों की संख्या/कुल गेंदों की संख्या, यदि हर गेंद समान संभावना से चुनी जाए।
थैले में संतरे की महक वाली कोई गोली है ही नहीं — यह असंभव घटना है, P=0।
सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं — यह निश्चित घटना है, P=1।
(i) 0 (ii) 1
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है।
इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
P(एक ही दिन) = 1 − P(एक ही दिन न हो) = 1 − 0.992।
= 0.008।
थैले से एक गेंद चुनने पर P(रंग)=उस रंग की गेंदों की संख्या/कुल गेंदों की संख्या, यदि हर गेंद समान संभावना से चुनी जाए।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
3+5 = 8।
P(लाल) = 3/8। P(लाल नहीं) = 5/8 (या 1 − 3/8 से भी)।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
5+8+4 = 17।
P(लाल)=5/17। P(सफेद)=8/17। P(हरा नहीं) = (17−4)/17 = 13/17।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
100+50+20+10 = 180।
P(50 पैसे) = 100/180 = 5/9। P(₹5 नहीं) = (180−10)/180 = 17/18।
गोपी अपने जल-जीव कुंड के लिए मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है।
इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
5+8 = 13।
P(नर) = 5/13।
असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
8 (1 से 8 तक)।
(i) 1/8। (ii) विषम {1,3,5,7}=4/8=1/2। (iii) {3,4,5,6,7,8}=6/8=3/4। (iv) सभी 8 संख्याएँ 9 से छोटी हैं, इसलिए यह निश्चित घटना है, P=1।
एक पासे को एक बार फेंका जाता है।
निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए — (i) एक अभाज्य संख्या (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या (iii) एक विषम संख्या।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
अभाज्य संख्याएँ {2,3,5} — 3/6=1/2।
2 और 6 के बीच {3,4,5} — 3/6=1/2। विषम {1,3,5} — 3/6=1/2।
(i) 1/2 (ii) 1/2 (iii) 1/2
ताश की गड्डी में 52 पत्ते, 4 सूट, प्रत्येक सूट में 13 पत्ते, 26 लाल और 26 काले पत्ते होते हैं। P(E)=अनुकूल पत्ते/52।
5 पत्तों में से 1 बेगम — P=1/5।
बेगम हटाने पर 4 पत्ते बचे। (a) इक्का 1/4। (b) बेगम पहले ही हटाई जा चुकी है, इसलिए असंभव, P=0।
(i) 1/5 (ii)(a) 1/4 (b) 0
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है।
निकाले गए पेन के अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
12+132 = 144।
P(अच्छा) = 132/144 = 11/12।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
4/20 = 1/5।
एक अच्छा बल्ब हटाने पर शेष 19 में से 4 अभी भी खराब, 15 अच्छे। P(खराब नहीं) = 15/19।
(i) 1/5 (ii) 15/19
एक पेटी में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है।
इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी — (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
10 से 90 तक — 81 संख्याएँ। 81/90 = 9/10।
पूर्ण वर्ग: 1,4,9,...,81 — 9 संख्याएँ, 9/90=1/10। 5 से विभाज्य: 5,10,...,90 — 18 संख्याएँ, 18/90=1/5।
(i) 9/10 (ii) 1/10 (iii) 1/5
एक निष्पक्ष पासे के 6 समान-संभावित परिणाम {1,2,3,4,5,6} हैं। P(E)=अनुकूल परिणाम/6।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
कुल 6 फलक, पर A दो बार (दो फलकों पर) अंकित है।
P(A) = 2/6 = 1/3। P(D) = 1/6 (केवल एक फलक पर)।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, प्रायिकता (Probability)=अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या। अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें पूछी गई घटना होती है।
144, जिनमें 20 खराब, 124 अच्छे।
P(खरीदेंगे) = 124/144 = 31/36। P(नहीं खरीदेंगे) = 20/144 = 5/36।
पूरक घटना के लिए P(E नहीं)=1−P(E), क्योंकि P(E)+P(E नहीं)=1।
तीन सिक्कों के कुल 8 परिणाम — HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT।
जीत केवल HHH या TTT में — 2/8। हार = 1 − 2/8 = 6/8 = 3/4।
3/4
दो पासों के 36 क्रमित समान-संभावित परिणाम हैं। योग या अन्य शर्त के अनुकूल क्रमित युग्म गिनें और 36 से भाग दें।
हर फेंक में 5 न आने की संभावना 5/6 है, दोनों फेंकों के लिए (5/6)×(5/6) = 25/36।
कम से कम एक बार 5 आने की प्रायिकता = 1 − 25/36 = 11/36।
(i) 25/36 (ii) 11/36
दो सिक्कों के 4 समान-संभावित परिणाम हैं: HH, HT, TH, TT। घटना के अनुकूल परिणाम गिनकर 4 से भाग दें।
दो सिक्कों के वास्तविक समप्रायिक परिणाम (H,H),(H,T),(T,H),(T,T) हैं — चार, तीन नहीं। 'एक-एक बार' दो तरीकों (HT, TH) से बन सकता है, इसलिए यह तर्क असत्य है।
पासे पर 1,2,3,4,5,6 में से 3 विषम और 3 सम हैं — दोनों वास्तव में समप्रायिक हैं, इसलिए P(विषम)=1/2 सही है।
(i) असत्य (ii) सत्य
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है।
निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए — (i) लाल रंग का बादशाह (ii) एक फेस कार्ड (iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता (iv) पान का गुलाम (v) हुकुम का पत्ता (vi) एक ईंट की बेगम।
ताश की गड्डी में 52 पत्ते, 4 सूट, प्रत्येक सूट में 13 पत्ते, 26 लाल और 26 काले पत्ते होते हैं। P(E)=अनुकूल पत्ते/52।
52 पत्ते, प्रत्येक रंग में 13।
(i) लाल बादशाह 2/52=1/26। (ii) फेस कार्ड 12/52=3/13। (iii) लाल तस्वीर 6/52=3/26। (iv) पान का गुलाम 1/52। (v) हुकुम 13/52=1/4। (vi) ईंट की बेगम 1/52।