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अभ्यास — प्रश्नावली 8.3 (Exercise 8.3)

21 वस्तुनिष्ठ · 12 लघु

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

  1. sin29°/cos61° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 90
    (B) 0
    (C) 1
    (D) 32
    उत्तर देखें (See answer)
  2. cosec²54° − tan²36° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 0
    (B) 1
    (C) −1
    (D) 2
    उत्तर देखें (See answer)
  3. cos48° − sin42° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 1
    (B) 0
    (C) 2
    (D) −1
    उत्तर देखें (See answer)
  4. tan15°. tan35°. tan75°. tan55°. tan45° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) √3
    (B) 1/√3
    (C) 1
    (D) −√3
    उत्तर देखें (See answer)
  5. sin13°.cos77° + cos13°.sin77° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 0
    (B) 1
    (C) −1
    (D) sin13°
    उत्तर देखें (See answer)
  6. यदि A और B दो न्यूनकोण इस प्रकार हैं कि sinA = cosB, तो (A + B) का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 90°
    (B) 120°
    (C) 135°
    (D) 145°
    उत्तर देखें (See answer)
  7. [3sin²15°+1+3sin²75°] / [4cos²37°−2+4cos²53°] =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 3
    (B) 4
    (C) 2
    (D) 1
    उत्तर देखें (See answer)
  8. यदि sin20° + cos70° = 2cosA तो A का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) 40°
    (B) 60°
    (C) 70°
    (D) 90°
    उत्तर देखें (See answer)
  9. tan 10° . tan 23° . tan 80° . tan 67° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 0
    (B) 1
    (C) √3
    (D) 1/√3
    उत्तर देखें (See answer)
  10. sin( 90° − A ) =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) sin A
    (B) cos A
    (C) tan A
    (D) sec A
    उत्तर देखें (See answer)
  11. cos 59° × tan 80° / ( sin 31° × cot 10° ) =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 1/√2
    (B) 1
    (C) √3/2
    (D) 1/2
    उत्तर देखें (See answer)
  12. यदि tan 25° × tan 65° = sin A हो तो A का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 25°
    (B) 65°
    (C) 90°
    (D) 45°
    उत्तर देखें (See answer)
  13. यदि sin(20°+θ)=cos30° तो θ का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 30°
    (B) 40°
    (C) 50°
    (D) 60°
    उत्तर देखें (See answer)
  14. यदि △ABC में ∠C=90° तो sin(A+B)=बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 0
    (B) 1
    (C) 1/2
    (D) 1/√2
    उत्तर देखें (See answer)
  15. tan5°.tan25°.tan30°.tan65°.tan85°=बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 1
    (B) √3
    (C) 1/√3
    (D) 1/2
    उत्तर देखें (See answer)
  16. cos38°cos52°-sin38°sin52°=बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 1
    (B) 0
    (C) 2
    (D) 1/2
    उत्तर देखें (See answer)
  17. cosec42°/sec48° × cos37°/sin53°=बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 0
    (B) 1/2
    (C) 1
    (D) 2
    उत्तर देखें (See answer)
  18. sin 54° - cos 36° =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 0
    (B) 1
    (C) 2
    (D) -1
    उत्तर देखें (See answer)
  19. (cos 37°/sin 53°) + (cot 34°/tan 56°) का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 0
    (B) 1
    (C) 2
    (D) -1
    उत्तर देखें (See answer)
  20. यदि tan 27° tan 63° = sin A, तो A का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 27°
    (B) 63°
    (C) 90°
    (D) 36°
    उत्तर देखें (See answer)
  21. [sin²(90°-θ)+sin²θ] / [cosec²(90°-θ)-tan²θ] =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 1
    (B) 0
    (C) 2
    (D) -1
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

  1. निम्नलिखित का मान निकालिए — (i) sin18°/cos72° (ii) tan26°/cot64° (iii) cos48°−sin42° (iv) cosec31°−sec59°
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    पूरक कोणों के लिए sin(90°−A)=cosA, cos(90°−A)=sinA, tan(90°−A)=cotA और sec(90°−A)=cosecA।

    चरण (Step) 1 — पूरक कोण पहचानें

    18°+72°=90°, 26°+64°=90°, 48°+42°=90°, 31°+59°=90° — हर युग्म पूरक है।

    उत्तर (Answer)

    cos72°=sin18° इसलिए (i)=1। cot64°=tan26° इसलिए (ii)=1। sin42°=cos48° इसलिए (iii)=0। sec59°=cosec31° इसलिए (iv)=0।

  2. दिखाइए कि — (i) tan48°tan23°tan42°tan67°=1 (ii) cos38°cos52°−sin38°sin52°=0
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त अनुपात (Ratio)

    समकोण त्रिभुज में sinθ = सम्मुख/कर्ण, cosθ = संलग्न/कर्ण और tanθ = सम्मुख/संलग्न। दिए अनुपात से भुजाएँ मानकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।

    चरण (Step) 1 — (i) पूरक जोड़ी बनाएँ

    48°+42°=90° और 23°+67°=90°, इसलिए tan48°=cot42° और tan23°=cot67°।

    चरण (Step) 2 — (i) का निष्कर्ष

    tan48°tan42° = tan42°×cot42° = 1, और tan23°tan67° = tan23°×cot23° = 1 — पूरा गुणनफल 1।

    चरण (Step) 3 — (ii)

    38°+52°=90°, इसलिए cos52°=sin38° और sin52°=cos38°। अतः cos38°sin38°−sin38°cos38° = 0।

    उत्तर (Answer)

    (i) 1; (ii) 0।

  3. यदि tan 2A = cot(A−18°), जहाँ 2A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    पूरक कोणों के लिए sin(90°−A)=cosA, cos(90°−A)=sinA, tan(90°−A)=cotA और sec(90°−A)=cosecA।

    चरण (Step) 1 — tan को cot में बदलें

    tan2A = cot(90°−2A)।

    चरण (Step) 2 — कोण बराबर रखें

    90°−2A = A−18° से 108°=3A, A=36°।

    उत्तर (Answer)

    A = 36°

  4. यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A+B=90° है।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    इस अध्याय के न्यून कोणों के संदर्भ में 0°<A,B<90° और tan A=cot B।

    प्रमाण में प्रयुक्त तरीका (Method)

    tanθ=sinθ/cosθ, cotθ=cosθ/sinθ, secθ=1/cosθ और cosecθ=1/sinθ लिखें; फिर बुनियादी सर्वसमिका से सरल करें।

    चरण (Step) 1 — पूरक कोण का अनुपात

    पूरक कोणों (Complementary angles) का योग 90° होता है। cot B=tan(90°−B), इसलिए tan A=tan(90°−B)।

    चरण (Step) 2 — कोणों की तुलना

    0° से 90° के बीच tan का समान मान उसी कोण के लिए मिलता है। इसलिए A=90°−B। दोनों ओर B जोड़ने पर A+B=90°।

    निष्कर्ष (Conclusion)

    A और B पूरक कोण हैं; A+B=90°।

  5. यदि sec 4A = cosec(A−20°), जहाँ 4A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    पूरक कोणों के लिए sin(90°−A)=cosA, cos(90°−A)=sinA, tan(90°−A)=cotA और sec(90°−A)=cosecA।

    चरण (Step) 1 — sec को cosec में बदलें

    sec4A = cosec(90°−4A)।

    चरण (Step) 2 — कोण बराबर रखें

    90°−4A = A−20° से 110°=5A, A=22°।

    उत्तर (Answer)

    A = 22°

  6. यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अंत:कोण हों, तो दिखाइए कि sin((B+C)/2) = cos(A/2) है।
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    पूरक कोणों के लिए sin(90°−A)=cosA, cos(90°−A)=sinA, tan(90°−A)=cotA और sec(90°−A)=cosecA।

    चरण (Step) 1 — कोण योग गुणधर्म लगाएँ

    A+B+C=180° से B+C=180°−A।

    उत्तर (Answer)

    (B+C)/2 = 90°−A/2, इसलिए sin((B+C)/2) = sin(90°−A/2) = cos(A/2)।

  7. sin67°+cos75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त सूत्र (Formula)

    पूरक कोणों के लिए sin(90°−A)=cosA, cos(90°−A)=sinA, tan(90°−A)=cotA और sec(90°−A)=cosecA।

    चरण (Step) 1 — पूरक रूप में बदलें

    sin67° = sin(90°−23°) = cos23°। cos75° = cos(90°−15°) = sin15°।

    उत्तर (Answer)

    sin67°+cos75° = cos23°+sin15°।

  8. मान निकालें : sec39°/cosec51° + sin67°/cos23° − cot45° − cos0°.बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
  9. यदि sin3A = cos(A − 26°) हो जहाँ 3A एक न्यून कोण है तो A का मान ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
  10. सिद्ध करें कि tan7° . tan60° . tan83° = √3।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
  11. सिद्ध करें कि tan9° . tan27° = cot63° . cot81°।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
  12. मान निकालें : cosec 39° cos 51° + tan 21° cot 69° - sec² 21°.बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
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