अभ्यास — प्रश्नावली 13.2 (Exercise 13.2)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. 6 सेमी किनारे वाले तीन घनों को घनाभ (Cuboid) बनाने हेतु प्रारंभ से अंत तक जोड़ा जाता है। परिणामी घनाभ का आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 648 सेमी³

   (B) 216 सेमी³

   (C) 432 सेमी³

   (D) 864 सेमी³
   उत्तर देखें (See answer)
2. यदि दो गोलों का पृष्ठ क्षेत्रफल (Surface area) 16:9 के अनुपात (Ratio) में हो तो उनके आयतन (Volume) का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 27:64

   (B) 64:27

   (C) 4:3

   (D) 3:4
   उत्तर देखें (See answer)
3. यदि घन (Cube) का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (Total surface area) 864 वर्ग सेमी हो तो इसका आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 1728 घन (Cube) सेमी

   (B) 3456 घन (Cube) सेमी

   (C) 864 घन (Cube) सेमी

   (D) 432 घन (Cube) सेमी
   उत्तर देखें (See answer)
4. यदि घनाभ (Cuboid) के तीन आसन्न फलकों (Adjacent faces) के क्षेत्रफल (Area) क्रमशः x, y एवं z हों तो घनाभ का आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) xyz

   (B) √xyz

   (C) x²y²z²

   (D) x³y³z³
   उत्तर देखें (See answer)
5. एक बेलन (Cylinder) की ऊँचाई (Height) 14 सेमी है तथा इसका वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल (Curved surface area) 264 वर्ग सेमी है तो इसका आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 1848 सेमी³

   (B) 1232 सेमी³

   (C) 396 सेमी³

   (D) 308 सेमी³
   उत्तर देखें (See answer)
6. R त्रिज्या (Radius) वाले गोले (Sphere) का आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) (1/3)πR³

   (B) 4πR³

   (C) (4/3)πR³

   (D) πR³
   उत्तर देखें (See answer)
7. दो वृत्तीय बेलन (Cylinder) जिनका आयतन (Volume) समान है एवं उनकी ऊँचाइयों का अनुपात (Ratio) 1 : 2 है, तो उनकी त्रिज्याओं (Radii) का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 1 : 4

   (B) √2 : 1

   (C) 1 : 2

   (D) 1 : √2
   उत्तर देखें (See answer)
8. एक घनाभ (Cuboid) के तीन संलग्न फलकों का क्षेत्रफल (Area) क्रमशः x², y² एवं z² हैं, तो घनाभ का आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) xyz

   (B) 2xyz

   (C) x²+y²+z²

   (D) x²y²z²
   उत्तर देखें (See answer)
9. दो बेलनों की त्रिज्याओं (Radii) का अनुपात (Ratio) 4 : 5 है एवं उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 6 : 7 हो, तो उनके आयतनों का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 96 : 125

   (B) 96 : 175

   (C) 175 : 96

   (D) 20 : 63
   उत्तर देखें (See answer)
10. यदि किसी घन (Cube) के विकर्ण (Diagonal) की लंबाई 2√3 सेमी है तो इसके कोर (Edge) की लम्बाई हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 2 सेमी

    (B) 2√3 सेमी

    (C) 3 सेमी

    (D) 4 सेमी
    उत्तर देखें (See answer)
11. दो बेलनों की त्रिज्याओं (Radii) का अनुपात (Ratio) 2:3 और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 5:3 है तो उनके आयतनों का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 27:20

    (B) 20:27

    (C) 4:9

    (D) 9:40
    उत्तर देखें (See answer)
12. एक धातु के पाइप की बाह्य त्रिज्या (Radius) 4 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 3 सेमी है। यदि इसकी लंबाई 10 सेमी हो तो धातु का आयतन (Volume) होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 120 सेमी³

    (B) 220 सेमी³

    (C) 440 सेमी³

    (D) 1540 सेमी³
    उत्तर देखें (See answer)
13. एक शंकु (Cone) का आयतन (Volume) 1570 सेमी³ है। यदि इसके आधार का क्षेत्रफल (Area) 314 सेमी² है, तो इसकी ऊँचाई (Height) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 10 सेमी

    (B) 15 सेमी

    (C) 18 सेमी

    (D) 20 सेमी
    उत्तर देखें (See answer)
14. यदि एक गोला (Sphere) की त्रिज्या (Radius) 2r है तो इसका आयतन (Volume) होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 32πr³/3

    (B) 16πr³/3

    (C) 8πr³/3

    (D) 64πr³/3
    उत्तर देखें (See answer)
15. एक शंकु (Cone) के आधार का व्यास (Diameter) 10 cm और इसकी ऊँचाई (Height) 12 cm है, तो शंकु का आयतन (Volume) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 400π cm³

    (B) 300π cm³

    (C) 100π cm³

    (D) 200π cm³
    उत्तर देखें (See answer)
16. एक धातु के पाइप की बाह्य त्रिज्या (Radius) 4 cm और आंतरिक त्रिज्या 3 cm है। यदि इसकी लंबाई 10 cm हो, तो धातु का आयतन (Volume) होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 120 cm³

    (B) 220 cm³

    (C) 440 cm³

    (D) 1540 cm³
    उत्तर देखें (See answer)
17. यदि किसी घन (Cube) का आयतन (Volume) 125 cm³ है, तो घन के किनारा एवं घन के विकर्ण (Diagonal) का अनुपात (Ratio) होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 1 : √3

    (B) 5 : √3

    (C) 25 : √3

    (D) 15 : √3
    उत्तर देखें (See answer)
18. दो बेलनों की त्रिज्याओं (Radii) का अनुपात (Ratio) 2 : 3 है एवं उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 5 : 3 हो तो उनके आयतनों का अनुपात होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 27 : 20

    (B) 20 : 27

    (C) 4 : 9

    (D) 9 : 4
    उत्तर देखें (See answer)
19. यदि किसी गोले (Sphere) की त्रिज्या (Radius) 3 गुनी हो जाती है तो इसका आयतन (Volume) हो जाएगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 3 गुना

    (B) 6 गुना

    (C) 9 गुना

    (D) 27 गुना
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है।

   ज्ञात करना है (Find)

   इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   शंकु का आयतन=(1/3)πr²h, तिर्यक ऊँचाई l=√(r²+h²) और वक्र पृष्ठ=πrl।

   चरण (Step) 1 — दोनों आयतन जोड़ें

   शंकु का आयतन = (1/3)π(1)²(1) = π/3। अर्धगोले का आयतन = (2/3)π(1)³ = 2π/3।

   उत्तर (Answer)

   π/3 + 2π/3 = π cm³।

2. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है?
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   बीच में बेलन और दोनों सिरों पर अर्धगोले हैं। दोनों अर्धगोले मिलकर एक गोला बनाते हैं। कुल लंबाई में से 2r घटाने पर बेलन की लंबाई मिलती है।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   गोला: V=(4/3)πr³, क्षेत्रफल=4πr²। अर्धगोला: V=(2/3)πr³, CSA=2πr² और TSA=3πr²।

   चरण (Step) 1 — बेलन वाले भाग की लंबाई

   व्यास 2.8 cm से त्रिज्या r=1.4 cm। दोनों अर्धगोलों की संयुक्त लंबाई 2r=2.8 cm है। इसलिए बेलन की ऊँचाई h=5−2.8=2.2 cm।

   चरण (Step) 2 — एक गुलाबजामुन का आयतन

   दो अर्धगोले मिलकर एक गोला बनाते हैं। कुल आयतन V=πr²h+(4/3)πr³ = π×1.4²×2.2+(4/3)π×1.4³।

   चरण (Step) 3 — 45 गुलाबजामुनों की चाशनी

   चाशनी कुल आयतन का 30/100 भाग है। इसलिए चाशनी = (30/100)×45×[π×1.4²×2.2+(4/3)π×1.4³]। π=22/7 रखने पर यह 338.184 cm³, यानी लगभग 338 cm³ है। बीच की गणना को गोल करने के बजाय अंत में गोल करें।

   उत्तर (Answer)

   ≈ 338 cm³

3. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है।

   ज्ञात करना है (Find)

   बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   शंकु का आयतन=(1/3)πr²h, तिर्यक ऊँचाई l=√(r²+h²) और वक्र पृष्ठ=πrl।

   चरण (Step) 1 — शंकु का आयतन और बाहर निकला पानी

   शंकु का आयतन = (1/3)π(5)²(8) = 4400/21 cm³। बाहर निकला पानी (1/4) = 1100/21 cm³।

   चरण (Step) 2 — एक गोली का आयतन

   (4/3)π(0.5)³ = 11/21 cm³।

   चरण (Step) 3 — गोलियों की संख्या

   (1100/21) ÷ (11/21) = 100।

   उत्तर (Answer)

   100 गोलियाँ

4. एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है।

   ज्ञात करना है (Find)

   बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   शंकु का आयतन=(1/3)πr²h, तिर्यक ऊँचाई l=√(r²+h²) और वक्र पृष्ठ=πrl।

   चरण (Step) 1 — ठोस का आयतन

   शंकु+अर्धगोला = (1/3)π(60)²(120) + (2/3)π(60)³ ≈ 905142.86 cm³।

   चरण (Step) 2 — बेलन का आयतन और शेष पानी

   बेलन = π(60)²(180) ≈ 2036571.43 cm³। शेष पानी = 2036571.43−905142.86 ≈ 1131428.57 cm³।

   उत्तर (Answer)

   ≈ 1131428.57 cm³ (≈ 1.131 m³)

5. एक लम्बवृत्तीय शंकु (Cone) का आयतन (Volume) 100π सेमी³ और ऊँचाई (Height) 12 सेमी है तो लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (Radius) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
6. किसी बेलन (Cylinder) के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल (Area) तथा आयतन (Volume) क्रमशः 264 मी² तथा 396 मी³ हैं। बेलन की त्रिज्या (Radius) तथा ऊँचाई (Height) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
7. किसी शंकु (Cone) के आधार की त्रिज्या (Radius) 7√7 सेमी तथा ऊँचाई (Height) 21 सेमी है तो शंकु का आयतन (Volume) निकालें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)