अभ्यास

भूमिका (Background)

इस अध्याय में हम दो चर (x और y) वाले दो समीकरणों को एक साथ हल करना सीखेंगे। सबसे पहले बिना हल किए ही बताना सीखेंगे कि समीकरण युग्म का हल अद्वितीय है, अनेक हैं, या कोई नहीं। फिर सीखेंगे समीकरणों को हल करके x और y ज्ञात करना — और इसी से उम्र, संख्याओं और नाव की चाल जैसे शब्द-प्रश्न भी हल करेंगे। अंत में देखेंगे कि कुछ उलझे हुए समीकरण भी, थोड़ा बदलकर, इसी तरह हल हो जाते हैं।

📝 अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना से ही हल की प्रकृति पता चल जाती है — बिना हल किए।
a1/a2 ≠ b1/b2 → अद्वितीय हल। a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 → अनेक हल। a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 → कोई हल नहीं।
प्रतिस्थापन, विलोपन और वज्र-गुणन — तीनों विधियाँ एक ही जवाब (x, y) तक पहुँचती हैं, अलग-अलग रास्तों से।
शब्द-प्रश्नों में सबसे पहला काम है: स्थिति को दो समीकरणों में बदलना — यही सबसे ज़्यादा अंक दिलाता है।
1/x, 1/y जैसे रूप भी u = 1/x, v = 1/y रखकर, साधारण रैखिक समीकरण युग्म बन जाते हैं।
प्रतिस्थापन का अर्थ है किसी राशि की जगह उसके बराबर राशि रखना।
दो रेखाओं का साझा बिंदु दोनों समीकरणों का हल है।

💡 टिप (Tip)

पढ़ें → दो उदाहरण समझें → तीन छोटे सवाल जाँचें → कॉपी में अभ्यास करें। अध्याय के अंत में मिश्रित पुनरावृत्ति करें।

अध्ययन और अभ्यास (Study and Exercise)

रैखिक समीकरण युग्म की संगति (Consistency of a Pair of Linear Equations)

रैखिक समीकरण युग्म को बीजगणितीय विधि से हल करना (Solving a Pair of Linear Equations Algebraically)

असरल समीकरणों को रैखिक रूप में बदलना (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations)