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अभ्यास — प्रश्नावली 3.2 (Exercise 3.2)

20 वस्तुनिष्ठ · 7 लघु · 5 दीर्घ

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

  1. अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं — 5x − 4y + 8 = 0, 7x + 6y − 9 = 0बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) संगत (प्रतिच्छेदी रेखाएँ, अद्वितीय हल)
    (B) असंगत (समांतर रेखाएँ, कोई हल नहीं)
    (C) आश्रित (संपाती रेखाएँ, अनंत हल)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  2. अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं — 6x − 3y + 10 = 0, 2x − y + 9 = 0
    (A) प्रतिच्छेदी रेखाएँ (अद्वितीय हल)
    (B) समांतर रेखाएँ (कोई हल नहीं)
    (C) संपाती रेखाएँ (अनंत हल)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त विधि (Method)

    विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

    चरण (Step) 1 — अनुपात निकालें

    a1/a2 = 6/2 = 3, b1/b2 = −3/−1 = 3, c1/c2 = 10/9।

    उत्तर (Answer)

    a1/a2 = b1/b2 = 3 पर c1/c2 = 10/9 ≠ 3, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं — कोई हल नहीं।

  3. अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत — 2x − 3y = 8, 4x − 6y = 9बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) संगत
    (B) असंगत
    (C) आश्रित
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  4. अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत — 5x − 3y = 11, −10x + 6y = −22
    (A) संगत (अद्वितीय हल)
    (B) संगत (आश्रित, अनंत हल)
    (C) असंगत (कोई हल नहीं)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त विधि (Method)

    विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

    चरण (Step) 1 — अनुपात निकालें

    a1/a2 = 5/−10 = −1/2, b1/b2 = −3/6 = −1/2, c1/c2 = 11/−22 = −1/2।

    उत्तर (Answer)

    तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं — युग्म आश्रित (संगत) है, अनंत हल हैं।

  5. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) x − y = 0, 3x + 4y − 20 = 0 के आलेखीय निरूपण (Graphical representation) हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting lines)
    (B) सम्पाती रेखाएँ (Coincident lines)
    (C) समान्तर रेखाएँ (Parallel lines)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  6. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0 में यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ तो इनके हल हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) अद्वितीय हल (Unique solution)
    (B) अनन्त बहुतेरे हल (Infinitely many solutions)
    (C) कोई हल नहीं
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  7. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0 के आलेखीय निरूपण (Graphical representation) यदि समान्तर रेखाएँ (Parallel lines) हों तोबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
    (B) a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
    (C) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  8. रैखिक समीकरण x + 2y − 7 = 0 का एक हल हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) x = 1, y = 5
    (B) x = 2, y = 4
    (C) x = 1, y = 3
    (D) x = −1, y = −3
    उत्तर देखें (See answer)
  9. 3x − 7y + 15 = 0, 6x − 14y − 32 = 0 के कितने हल होंगे ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
    (A) एक हल
    (B) कोई हल नहीं
    (C) अनगिनत हल (Infinitely many solutions)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  10. निम्नलिखित में कौन बिन्दु x = 2 के लेखाचित्र पर है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) ( 2, 0 )
    (B) ( 2, 1 )
    (C) ( 2, 2 )
    (D) इनमें से सभी
    उत्तर देखें (See answer)
  11. x + 2y + 3 = 0, 3x + 6y + 9 = 0 के कितने हल होंगे ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) एक हल
    (B) कोई हल नहीं
    (C) अनगिनत हल (Infinitely many solutions)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  12. दो रैखिक समीकरणों के लेखाचित्र यदि समांतर हों तो हलों की संख्या होगीबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 1
    (B) 2
    (C) अनगिनत
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  13. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) 5x − 4y + 8 = 0 एवं 7x + 6y − 9 = 0 हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) संगत (Consistent)
    (B) असंगत (Inconsistent)
    (C) आश्रित (Dependent)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  14. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) 2x-3y=8 एवं 4x-6y=9 हैंबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) संगत (Consistent)
    (B) असंगत (Inconsistent)
    (C) आश्रित (Dependent)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  15. समीकरण 2x+3y=4 एवं 4x+6y=12 के आलेख (Graph) किस प्रकार की सरल रेखाएँ होंगी?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) संपाती (Coincident) सरल रेखाएँ
    (B) समांतर सरल रेखाएँ
    (C) प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  16. समीकरण निकाय 2x-3y+1=0 तथा 3x+y+2=0 के कितने हल हैं?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) एक और केवल एक हल
    (B) कोई हल नहीं
    (C) अनगिनत हल (Infinitely many solutions)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  17. k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x+2y=3 तथा 5x+ky=15 के अनंत हल (Infinitely many solutions) हैं?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 5
    (B) 10
    (C) 6
    (D) 12
    उत्तर देखें (See answer)
  18. दो रैखिक समीकरणों के लेखाचित्र यदि संपाती (Coincident) रेखाएँ हैं तो उनके कितने हल होंगे?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) एक हल
    (B) कोई हल नहीं
    (C) अनगिनत हल (Infinitely many solutions)
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  19. समीकरण 2x - y - 3 = 0 एवं 12x + 7y - 5 = 0 के आलेख (Graph) किस प्रकार की सरल रेखाएँ होंगी ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) संपाती (Coincident) सरल रेखाएँ
    (B) समांतर सरल रेखाएँ
    (C) प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)
  20. x - y = 0 का आलेख (Graph) कैसी सरल रेखा होगी ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) x-अक्ष के समांतर
    (B) y-अक्ष के समांतर
    (C) मूल बिन्दु (Origin) से जाती हुई
    (D) इनमें से कोई नहीं
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

  1. कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो।

    ज्ञात करना है (Find)

    प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।

    प्रयुक्त नियम (Rule)

    हर रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है। दोनों रेखाओं का मिलन बिंदु (Intersection point) ही समीकरण युग्म का हल (x, y) होता है।

    चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

    लड़कों की संख्या x और लड़कियों की संख्या y मान लें। कुल 10: x + y = 10। लड़कियाँ 4 अधिक: y = x + 4।

    चरण (Step) 2 — हल और जाँच

    दोनों रेखाएँ (3,7) पर मिलती हैं — x+(x+4)=10 से 2x=6, x=3, y=7। जाँच: 3+7=10 और 7=3+4।

    उत्तर (Answer)

    लड़के = 3, लड़कियाँ = 7

  2. 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है।

    ज्ञात करना है (Find)

    एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।

    प्रयुक्त नियम (Rule)

    हर रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है। दोनों रेखाओं का मिलन बिंदु (Intersection point) ही समीकरण युग्म का हल (x, y) होता है।

    चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

    1 पेंसिल ₹x और 1 कलम ₹y मान लें। 5x + 7y = 50 और 7x + 5y = 46।

    चरण (Step) 2 — हल

    पहले को 5 और दूसरे को 7 से गुणा करें: 25x+35y=250, 49x+35y=322। घटाने पर 24x=72, x=3। फिर 5(3)+7y=50 से y=5।

    जाँच (Check)

    7(3)+5(5)=21+25=46। ✓

    उत्तर (Answer)

    पेंसिल = ₹3, कलम = ₹5

  3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन सा युग्म संगत/असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए — 2x + y − 6 = 0, 4x − 2y − 4 = 0
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त नियम (Rule)

    हर रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है। दोनों रेखाओं का मिलन बिंदु (Intersection point) ही समीकरण युग्म का हल (x, y) होता है।

    चरण (Step) 1 — संगति जाँचें

    a1/a2 = 2/4 = 1/2, b1/b2 = 1/−2 = −1/2। ये असमान हैं, इसलिए युग्म संगत है — अद्वितीय हल है।

    चरण (Step) 2 — हल करें

    पहले से y = 6 − 2x। दूसरे में रखें: 4x − 2(6−2x) − 4 = 0, यानी 8x = 16, x = 2। फिर y = 6−4 = 2।

    जाँच (Check)

    2(2)+2−6=0 और 4(2)−2(2)−4=0। ✓

    उत्तर (Answer)

    x = 2, y = 2

  4. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
    उत्तर देखें (See answer)

    दिया हुआ (Given)

    एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है।

    ज्ञात करना है (Find)

    बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

    सवाल को समीकरण में बदलने का नियम (Rule)

    दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।

    चरण (Step) 1 — समीकरण बनाएँ

    चौड़ाई w m और लंबाई l m मान लें। l = w + 4। अर्धपरिमाप = l + w = 36।

    चरण (Step) 2 — हल

    (w+4) + w = 36 से 2w = 32, w = 16। फिर l = 20।

    जाँच (Check)

    16 + 20 = 36। ✓

    उत्तर (Answer)

    लंबाई = 20 m, चौड़ाई = 16 m

  5. k का मान ज्ञात करें जिसके लिए रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) 3x + 5y = 0 तथा kx + 10y = 0 का एक अद्वितीय हल (Unique solution) है।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
  6. p के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल (Unique solution) है ? 4x + py + 8 = 0 एवं 2x + 2y + 2 = 0बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
  7. k के किस मान के लिए समीकरण kx+y=1 और (k+1)x+2y=3 का कोई हल नहीं होगा।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

  1. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y − 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण (i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों, (ii) समांतर रेखाएँ हों, (iii) संपाती रेखाएँ हों।
    उत्तर देखें (See answer)

    प्रयुक्त विधि (Method)

    विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

    चरण (Step) 1 — प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए

    कोई भी समीकरण जिसका a1/a2 ≠ b1/b2 हो — जैसे x − y − 1 = 0 (यहाँ a1/a2=2/1, b1/b2=3/−1, असमान)।

    चरण (Step) 2 — समांतर रेखाओं के लिए

    a1/a2 = b1/b2 पर c1/c2 भिन्न रखें — जैसे 4x + 6y − 20 = 0 (अनुपात 2/4=1/2=3/6, पर −8/−20=2/5≠1/2, इसलिए समांतर)।

    चरण (Step) 3 — संपाती रेखाओं के लिए

    तीनों अनुपात बराबर रखें — जैसे 4x + 6y − 16 = 0 (यह दिए गए समीकरण का ठीक दो गुना है, इसलिए वही रेखा)।

    उत्तर (Answer)

    उदाहरण: (i) x−y−1=0; (ii) 4x+6y−20=0; (iii) 4x+6y−16=0।

  2. समीकरणों x − y + 1 = 0 और 3x + 2y − 12 = 0 के आलेख खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
  3. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) 2x − 3y + 13 = 0 तथा 3x − 2y + 12 = 0 का आलेख (Graph) खींचें तथा हल करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
  4. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) x + 3y − 6 = 0 तथा 2x − 3y − 12 = 0 का आलेख (Graph) खींचें तथा हल करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
  5. रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) 3x-5y+1=0 तथा 2x-y+3=0 का आलेख (Graph) खींचें और हल करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024उत्तर देखें (See answer)
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