प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।
A.P. में a पहला पद और d सार्व अंतर (Common difference) है, यानी अगला पद−पिछला पद। n पद का क्रमांक या कुल पदों की संख्या है। nवाँ पद aₙ=a+(n−1)d; पहले n पदों का योग Sₙ=n[2a+(n−1)d]/2। सवाल के अनुसार पद या योग वाला सूत्र चुनें।
a=2, d=5, n=10। Sₙ = n/2[2a+(n−1)d] = 5[4+45] = 5×49 = 245।
245
प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।
a=0.6, d=1.1, n=100। S₁₀₀ = 50[1.2+99×1.1] = 50[1.2+108.9] = 50×110.1 = 5505।
5505
Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] को दिए योग के बराबर रखें। मिले द्विघात समीकरण का केवल धनात्मक पूर्णांक मूल n स्वीकार करें।
पहला पद a=9, सार्व अंतर d=17−9=8 और योग Sₙ=636। Sₙ=n[2a+(n−1)d]/2 से n[18+8n−8]/2=636।
n(8n+10)/2=636 ⇒ 4n²+5n−636=0। मध्य पद को 53n−48n लिखें: 4n²+53n−48n−636=0 ⇒ n(4n+53)−12(4n+53)=0 ⇒ (n−12)(4n+53)=0।
n=12 या n=−53/4। पदों की संख्या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए n=12।
S₁₂=12[18+11×8]/2=6×106=636।
12
a₁, a₂, ..., aₙ, ... से एक A.P. बनती है, यदि aₙ = 3+4n हो। साथ ही, इसके प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।
A.P. में a पहला पद और d सार्व अंतर (Common difference) है, यानी अगला पद−पिछला पद। n पद का क्रमांक या कुल पदों की संख्या है। nवाँ पद aₙ=a+(n−1)d; पहले n पदों का योग Sₙ=n[2a+(n−1)d]/2। सवाल के अनुसार पद या योग वाला सूत्र चुनें।
a₁=7, a₂=11, a₃=15, ... — हर बार 4 जुड़ता है, इसलिए A.P. है, a=7, d=4।
S₁₅ = 15/2[14+14×4] = 15/2×70 = 525।
S₁₅ = 525
a₁, a₂, ..., aₙ, ... से एक A.P. बनती है, यदि aₙ = 9−5n हो। साथ ही, इसके प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।
A.P. में a पहला पद और d सार्व अंतर (Common difference) है, यानी अगला पद−पिछला पद। n पद का क्रमांक या कुल पदों की संख्या है। nवाँ पद aₙ=a+(n−1)d; पहले n पदों का योग Sₙ=n[2a+(n−1)d]/2। सवाल के अनुसार पद या योग वाला सूत्र चुनें।
a₁=4, a₂=−1, a₃=−6, ... — हर बार −5 जुड़ता है, इसलिए A.P. है, a=4, d=−5।
S₁₅ = 15/2[8+14×(−5)] = 15/2×(−62) = −465।
S₁₅ = −465
प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।
6, 12, 18, ..., 40 पद — a=6, d=6, n=40।
S₄₀ = 20[12+39×6] = 20×246 = 4920।
4920
1 से n तक का योग = n(n + 1)/2; प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²; क्रमागत संख्याओं का योग = पदों की संख्या/2 × (पहला + अंतिम)।
A.P. में a पहला पद और d सार्व अंतर (Common difference) है, यानी अगला पद−पिछला पद। n पद का क्रमांक या कुल पदों की संख्या है। nवाँ पद aₙ=a+(n−1)d; पहले n पदों का योग Sₙ=n[2a+(n−1)d]/2। सवाल के अनुसार पद या योग वाला सूत्र चुनें।
1, 3, 5, ..., 49 — a=1, d=2, aₙ=49 से n=25।
S₂₅ = 25/2[2+24×2] = 25/2×50 = 625।
625
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n − n² है, तो इसका प्रथम पद क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है?
इसी प्रकार, तीसरा, 10वाँ और nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
यदि Sₙ प्रथम n पदों का योग हो, तो kवाँ पद a_k = S_k − S_(k−1)।
A.P. में a पहला पद और d सार्व अंतर (Common difference) है, यानी अगला पद−पिछला पद। n पद का क्रमांक या कुल पदों की संख्या है। nवाँ पद aₙ=a+(n−1)d; पहले n पदों का योग Sₙ=n[2a+(n−1)d]/2। सवाल के अनुसार पद या योग वाला सूत्र चुनें।
S₁=4(1)−1²=3, यही a₁ है। S₂=4(2)−2²=4।
a₂=S₂−S₁=4−3=1। S₃=4(3)−9=3, a₃=S₃−S₂=−1। S₁₀=4(10)−100=−60, S₉=4(9)−81=−45, a₁₀=−60−(−45)=−15।
aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = [4n−n²]−[4(n−1)−(n−1)²] = 5−2n।
a₁=3, S₂=4, a₂=1, a₃=−1, a₁₀=−15, aₙ=5−2n
निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए जुर्माना इस प्रकार है — पहले दिन ₹200, दूसरे दिन ₹250, तीसरे दिन ₹300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है।
एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।
a=200, d=50, n=30।
S₃₀ = 15[400+29×50] = 15×1850 = 27750।
₹27750
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹700 की राशि रखी गई है। प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹20 कम है।
प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।
सबसे बड़ा पुरस्कार a, d=−20, n=7, योग 700। 7/2[2a+6×(−20)]=700।
दोनों पक्षों को 2/7 से गुणा करें: 2a−120=700×2/7=200। इसलिए 2a=320 और a=160।
160, 140, 120, 100, 80, 60, 40 — योग 700 ✓।
₹160, 140, 120, 100, 80, 60, 40
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, इत्यादि कक्षा XII तक। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं।
इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।
कक्षा I से XII तक एक अनुभाग 1+2+...+12 पेड़ लगाएगा। S₁₂ = 12×13/2 = 78।
प्रत्येक कक्षा के 3 अनुभाग हैं, इसलिए कुल = 3×78 = 234।
234
200 लट्ठों को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है — सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली में 18 लट्ठे, इत्यादि।
ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
सार्व अंतर (Common difference) d = दूसरा पद − पहला पद। लगातार हर दो पदों का अंतर समान होना चाहिए।
a=20, d=−1, योग 200। n/2[40+(n−1)×(−1)]=200।
n(41−n)/2=200 ⇒ 41n−n²=400 ⇒ n²−41n+400=0। क्योंकि 16+25=41 और 16×25=400, इसलिए (n−16)(n−25)=0। अतः n=16 या n=25।
n=25 पर 25वीं पंक्ति में 20+24×(−1)=−4 लट्ठे होंगे, जो असंभव है। अतः n=16। सबसे ऊपरी (16वीं) पंक्ति में 20+15×(−1)=5 लट्ठे।
16 पंक्तियाँ, सबसे ऊपर 5 लट्ठे
एक आलू दौड़ में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और यह तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ।
प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]। अंतिम पद l पता हो, तो Sₙ = n/2(a + l)।
kवें आलू तक जाकर वापस आने की दूरी = 2×(5+3(k−1)) मीटर — यह भी एक A.P. है, a=10, d=6, n=10।
कुल दूरी = S₁₀ = 10/2[20+9×6] = 5×74 = 370 m।
370 m