अभ्यास

भूमिका (Background)

इस अध्याय में हम द्विघात समीकरण (Quadratic equation) ax² + bx + c = 0 हल करना सीखेंगे। सबसे पहले सीखेंगे गुणनखंड विधि (Factorisation) से हल करना। फिर एक नियम सीखेंगे जिससे बिना हल किए ही पता चल जाता है कि समीकरण के मूल (Roots) दो हैं, बराबर हैं, या कोई वास्तविक मूल नहीं है। फिर सीखेंगे द्विघाती सूत्र (Quadratic formula) — जो हर द्विघात समीकरण को हल कर देता है, चाहे वह गुणनखंड से टूटे या न टूटे। और इसी से उम्र, संख्याओं और चाल के शब्द-प्रश्न भी हल करेंगे।

📝 अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) का हल उसके मूल (Roots) कहलाते हैं।
गुणनखंड विधि: समीकरण को दो कोष्ठकों में तोड़कर, हर एक को शून्य के बराबर रखा जाता है।
विविक्तकर (Discriminant) D = b² - 4ac से, बिना हल किए, मूलों की प्रकृति पता चलती है।
D > 0 → दो भिन्न वास्तविक मूल। D = 0 → दो बराबर वास्तविक मूल। D < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं।
द्विघाती सूत्र x = (-b ± √D) / 2a हर द्विघात समीकरण को हल कर देता है।
शब्द-प्रश्नों में अक्सर दो मूल मिलते हैं, पर सिर्फ़ एक ही असली स्थिति में सही बैठता है।
x² + 2hx में h² जोड़ने से (x + h)² बनता है।
द्विघाती सूत्र पूर्ण वर्ग बनाने से निकलता है; उसे केवल याद करना जरूरी नहीं।
पहले अज्ञात का अर्थ और उसकी सीमा तय करें: अंक, लंबाई या अशून्य संख्या।

अध्ययन और अभ्यास (Study and Exercise)

द्विघात समीकरण को हल करना — गुणनखंड विधि (Solution by Factorisation)

द्विघाती सूत्र और मूलों की प्रकृति (The Quadratic Formula and the Nature of Roots)

द्विघात समीकरण के शब्द-प्रश्न (Applications of Quadratic Equations)