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2025 सेट I

परीक्षार्थियों के लिए निर्देश

समय: 3 घंटे 15 मिनट · पूर्णांक: 100

  1. OMR उत्तर-पत्रक पर प्रश्न-पुस्तिका का 10 अंकों वाला क्रमांक अवश्य लिखें।
  2. लिखित उत्तर यथासंभव अपने शब्दों में दें।
  3. दाहिनी ओर दिए गए अंक उस प्रश्न के पूर्णांक बताते हैं।
  4. प्रश्नों को ध्यान से पढ़ने के लिए 15 मिनट का अतिरिक्त समय दिया जाता है।
  5. प्रश्न-पत्र दो खण्डों—खण्ड अ और खण्ड ब—में है।
  6. खण्ड अ: 100 वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में से किन्हीं 50 का उत्तर दें। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है। 50 से अधिक उत्तर देने पर पहले 50 उत्तरों का ही मूल्यांकन होगा। सही विकल्प को OMR उत्तर-पत्रक पर नीले या काले बॉल पेन से भरें। व्हाइटनर, तरल पदार्थ, ब्लेड या नाखून का प्रयोग न करें।
  7. खण्ड ब: 30 लघु उत्तरीय प्रश्नों में से किन्हीं 15 का उत्तर दें; प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। 8 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों में से किन्हीं 4 का उत्तर दें; प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का है।
  8. किसी भी इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रयोग पूर्णतः वर्जित है।

खण्ड ब (B) — लघु उत्तरीय प्रश्न (Short answer)

प्रश्न 1
AB = AC वाले एक समद्विबाहु ΔABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध करें कि ΔABD ~ ΔECF है।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिभुज
प्रश्न 2
एक ΔABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD (Median AD) एक अन्य ΔPQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका (Median of a triangle) PM क्रमशः समानुपाती हैं तो सिद्ध करें कि ΔABC ~ ΔPQR।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिभुज
प्रश्न 3
ΔABC तथा ΔDEF समरूप (Similar) हैं तथा इनके क्षेत्रफल (Area) क्रमशः 9 सेमी² तथा 64 सेमी² हैं। यदि DE = 5.1 सेमी हो तो AB ज्ञात करें।
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प्रश्न 4
सिद्ध करें कि √((1+cosθ)/(1−cosθ)) = (1+cosθ)/sinθ।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 5
सिद्ध करें कि tan9° . tan27° = cot63° . cot81°।
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प्रश्न 6
यदि cosA = 4/5 हो तो cotA और cosecA के मान ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 7
यदि tanθ = 5/12 हो तो sinθ + cosθ का मान ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 8
यदि sin3A = cos(A − 26°) हो जहाँ 3A एक न्यून कोण है तो A का मान ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 9
दो संख्याओं का योगफल 50 है एवं उसमें से एक संख्या दूसरी की 7/3 गुनी है; तो संख्याएँ ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
प्रश्न 10
x³ + 1 को x + 1 से भाग कीजिए।
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2 अंक · 2025 · सेट I · बहुपद
प्रश्न 11
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग कर 504 तथा 1188 का म०स० ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · वास्तविक संख्याएँ
प्रश्न 12
द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 2x² + 5x − 3 = 0 के विवेचक (Discriminant) ज्ञात करें और मूलों (Roots) की प्रकृति भी ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · द्विघात समीकरण
प्रश्न 13
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक (Positive integers) ज्ञात करें जिनके वर्गों का योग 365 हो।
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2 अंक · 2025 · सेट I · द्विघात समीकरण
प्रश्न 14
दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। इस कथन के लिए समीकरण लिखें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · द्विघात समीकरण
प्रश्न 15
किसी त्रिभुज PQR में दो बिन्दु S और T भुजाओं PQ तथा PR पर क्रमशः इस प्रकार हैं कि PS/SQ = PT/TR तथा ∠PST = ∠PRQ, तो सिद्ध करें कि ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) है।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिभुज
प्रश्न 16
यदि किसी शंकु (Cone) के आधार की त्रिज्या (Radius) 7 सेमी एवं इसकी ऊँचाई (Height) 24 सेमी है तो इसके वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
प्रश्न 17
एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 7 सेमी है। 40 मिनट में इसके द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
प्रश्न 18
सिद्ध करें कि tan7° . tan60° . tan83° = √3।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 19
सिद्ध करें कि 5 − √3 एक अपरिमेय संख्या (Irrational number) है।
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2 अंक · 2025 · सेट I · वास्तविक संख्याएँ
प्रश्न 20
k के किस मान के लिए बिन्दुएँ ( 1, 1 ), ( 3, k ) और ( −1, 4 ) संरेख (Collinear) हैं ?
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2 अंक · 2025 · सेट I · निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्न 21
y-अक्ष पर एक ऐसा बिन्दु ज्ञात करें जो बिन्दुओं ( 6, 5 ) और ( −4, 3 ) से समदूरस्थ (Equidistant) हो।
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2 अंक · 2025 · सेट I · निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्न 22
एक 7 मी लंबी सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है। दीवार पर उस बिन्दु की ऊँचाई (Height) ज्ञात करें जहाँ सीढ़ी दीवार को स्पर्श करती है।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
प्रश्न 23
एक समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) ABCD की भुजा AD के बढ़े भाग पर E एक बिन्दु है एवं BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध करें कि ΔABE ~ ΔCFB।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिभुज
प्रश्न 24
ABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) है जिसका ∠C समकोण है। सिद्ध करें कि AB² = 2AC²।
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2 अंक · 2025 · सेट I · त्रिभुज
प्रश्न 25
उस बिन्दु के निर्देशांक (Coordinates) ज्ञात करें जो बिन्दुओं ( −1, 7 ) और ( 4, −3 ) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात (Ratio) में अंतःविभाजित (Divide internally) करता है।
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2 अंक · 2025 · सेट I · निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्न 26
त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें जिसके शीर्षों के निर्देशांक (Coordinates) ( −5, −1 ), ( 3, −5 ) तथा ( 5, 2 ) हैं।
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2 अंक · 2025 · सेट I · निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्न 27
किसी घन (Cube) का विकर्ण (Diagonal) 9√3 सेमी है। घन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (Total surface area) ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
प्रश्न 28
द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 2x² − 2√2x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · द्विघात समीकरण
प्रश्न 29
3 + 11 + 19 + ... + 67 का योगफल ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · समांतर श्रेढ़ी
प्रश्न 30
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic progression, AP) का 5वाँ एवं 9वाँ पद क्रमशः 43 एवं 79 हैं तो समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करें।
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2 अंक · 2025 · सेट I · समांतर श्रेढ़ी

खण्ड ब (B) — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long answer)

प्रश्न 31
रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations) x + 3y − 6 = 0 तथा 2x − 3y − 12 = 0 का आलेख (Graph) खींचें तथा हल करें।
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5 अंक · 2025 · सेट I · दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
प्रश्न 32
सिद्ध करें कि यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतरित करने वाली भुजाएँ आनुपातिक हों तो त्रिभुज समरूप (Similar) होते हैं।
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5 अंक · 2025 · सेट I · त्रिभुज
प्रश्न 33
दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के जोड़ की चार गुनी है एवं अपने अंकों के गुणनफल की दुगुनी है तो संख्या ज्ञात करें।
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5 अंक · 2025 · सेट I · द्विघात समीकरण
प्रश्न 34
7.6 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचें और इसे 5 : 8 के अनुपात (Ratio) में विभाजित करें। दोनों मापों को मापिए।
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5 अंक · 2025 · सेट I · रचनाएँ
प्रश्न 35
सिद्ध करें कि ( secθ − tanθ ) / ( secθ + tanθ ) = 1 + 2 tan²θ − 2 secθ . tanθ।
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5 अंक · 2025 · सेट I · त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 36
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या (Radius) ज्ञात करें जिसकी परिधि (Circumference) इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।
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5 अंक · 2025 · सेट I · वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
प्रश्न 37
निम्नलिखित बंटन का माध्य (Mean) ज्ञात करें : वर्ग अंतराल (Class interval) 11-13, 13-15, 15-17, 17-19, 19-21, 21-23, 23-25 के संगत (Corresponding) बारंबारता (Frequency) क्रमशः 7, 6, 9, 13, 20, 5, 4 हैं।
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5 अंक · 2025 · सेट I · सांख्यिकी
प्रश्न 38
एक शंकु के छिन्नक (Frustum of a cone) की तिर्यक ऊँचाई (Slant height) 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छिन्नक (Frustum) का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area) ज्ञात करें।
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5 अंक · 2025 · सेट I · पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
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